Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

KAFLI 7. FÖLDUN
(7.3) Athugasemd Látum f og g vera mælanleg föll á R. Við segjum að földunin
f ∗ g sé skilgreind í x ∈ R ef fallið
er í L 1 (R) og gefum henni gildið
Við skrifum hér dy í stað dm(y).
y ↦→ f(x − y)g(y)
∫
f ∗ g (x) =
R
f(x − y)g(y) dy
(7.4) Setning Ef f ∈ L p (R), g ∈ L q (R), 1 ≤ p < ∞, 1 < q ≤ ∞, 1 p + 1 q
= 1, þá gildir:
(1) f ∗ g er skilgreint á öllu R.
(2) f ∗ g : R → C er samfellt í j.m. á R og takmarkað (f ∗ g ∈ L ∞ (R)) og
||f ∗ g|| ∞ ≤ ||f|| p ||g|| q
(3) Ef p > 1, þá gildir
lim f ∗ g(x) = 0 .
|x|→∞
Sönnun.
(1) Ójafna Hölders gefur:
(2)
∫
(∫
|f(x − y)| |g(y)| dy ≤
fyrir öll x.
Fyrst fallið
|f ∗ g(x) − f ∗ g(y)| =
) 1/p (∫
|f(x − y)| p dy
≤
=
|g(y)| 1 dy) 1/q
≤ ||f|| p ||g|| q
∫
∣ [f(x − t) − f(y − t)] g(t) dt
∣
R
(∫
1/p
|f(x − t) − f(y − t)| dt) p ||g|| q
(∫
|f(x + t) − f(y + t)| p dt) 1/p
||g|| q
= ||τ −x f − τ −y f|| p ||g|| q
R → L p ,
x ↦→ τ x f
er samfellt í j.m. á R, þá leiðir af þessu að f ∗ g er samfellt í j.m. á R.
(3) Látum p > 1. Tökum ε > 0 og veljum I =] − a, a[⊆ R, þannig að
68
||fχ I ′|| p < ε
||gχ I ′|| 1 < ε