Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

KAFLI 8. FOURIER-UMMYNDUN
(8.9) Athugasemd Ef P (z) = a m z m + . . . + a 1 z + a 0 , a m ≠ 0, er margliða af stigi m,
u ∈ C m (R), u, u ′ , . . . , u (m) ∈ L 1 (R), þá er
Ef við ætlum að leysa jöfnuna
̂ P (D)u(ξ) = P (iξ)û(ξ)
P (D)u = f,
f ∈ L 1 (R) ∩ C(R)
þá fæst lausn u af þessari gerð þþaa P (iξ) sé deilir í ˆf(ξ),
û(ξ) =
ˆf(ξ)
P (iξ)
Ef E ∈ L 1 (R) og Ê = 1
P (iξ), þá fæst lausn með földun
u = E ∗ f .
(8.10) Dæmi Reiknum aftur út Fourier-mynd fallsins f(x) = 1 √
2π
e − 1 2 x2 . Við sjáum
að f uppfyllir
f − (x) + xf(x) = 0
Reiknireglur 5 og 6 gefa:
Fallið ˆf uppfyllir því sömu jöfnu
iξ ˆf(ξ) + i d dξ ˆf(ξ) = 0
Því er
Nú er
og því er
ˆf(ξ) + ξ ˆf(ξ) = 0
ˆf(ξ) = Ce − 1 2 ξ2
∫
C = ˆf(0) = f(x) dx = 1
ˆf(ξ) = e − 1 2 ξ2
(8.11) Schwartz-rúmið Schwartz-rúmið S(R) samanstendur af öllum f ∈ C ∞ (X)
þannig að
sup |x j f (k) (x)| < +∞ j, k = 0, 1, 2, . . . (8.1)
x∈R
Athugum að Cc ∞ (R) ⊆ S(R) og að f (k) ∈ L p (R), p ∈]1, ∞[. Þar með liggur S(R) þétt í
L p (R) fyrir öll p ∈]1, ∞[.
Athugum að (8.1) jafngildir því að ∀j, k = 0, 1, 2, . . . er til fasti C j,k þannig að
∣
∣f (k) (x) ∣ ≤
C j,k
(1 + |x|) j 77