Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

KAFLI 8. FOURIER-UMMYNDUN
Reiknireglur 1 og 2 gefa að fallið
hefur Fourier-myndina
Beitum nú reiknireglu 4,
Nú látum við ε → 0 og fáum
f ∗ ϕ ε (x) = 1 ∫
2π
f(x) = lim
ε→0
f ∗ ϕ ε (x) = 1
2π
y ↦→ f(−(y − x))
ξ ↦→ e −ixξ ˆf(−ξ)
∫
e −ixξ ˆf(−ξ)ψε (ξ) dξ
∫
e −ixξ 1
ˆf(−ξ) dξ =
2π
e ixξ f(ξ) dξ
□
(8.7) Fylgisetning Fourier-ummyndun er eintæk vörpun L 2 (R) → C 0 (R), þar sem
C 0 (R) táknar rúm allra samfelldra falla ϕ á R, þ.a.
lim
|x|→+∞
ϕ(x) = 0.
(8.8) Reiknireglur (5) Ef f ∈ L 1 (R) er deildanlegt og f ′ ∈ L 1 (R), þá er
ˆf ′ (ξ) = iξ ˆf(ξ)
F{f ′ }(ξ) = iξF{f}(ξ)
Með þrepun fæst að ef f ∈ C k (R) og f, f ′ , . . . , f (k) ∈ L 1 (R), þá er
ˆ
f (k) (ξ) = (iξ) k ˆf(ξ)
F{f (k) }(ξ) = (iξ) k F{f}(ξ)
(6) Ef f, xf ∈ L 1 (R), þá er F{f} ∈ C 1 (R) og
Sönnun.
76
F{xf(x)}(ξ) = i d dξ F{f}(ξ)
Með þrepun fáum við að ef f, x k f ∈ L 1 (R), þá er F{f} ∈ C k (R) og
(5) Við höfum að
∫
ˆf ′ (ξ) =
R
e −ixξ f ′ (x) dx =
F{x k f}(ξ) = i k
dk
dξ k F{f}(ξ)
[ ] +∞
e −ixξ f(x) − (−iξ)e
−∞
∫R
−ixξ f(x) dx = (iξ) ˆf(ξ)
(6) Þessi regla leiðir beint af setningunni um víxlun á heildi og aeiðu, því
Við fáum
F{xf(x)}(ξ) =
∂
∣∂ξ (e−ixξ f(x))
∣ = |xf(x)| ∈ L 1(R)
∫
e −ixξ xf(x) dx = i d dξ
∫
e −ixξ f(x) dx
= i d dξ F{f}(ξ) □