Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

KAFLI 7. FÖLDUN
Þetta leiðir beint af Lebesgue setningunni.
Ef f ∈ L p,loc(R) og g ∈ Cc (R), þar sem ∞ L p,loc(R) samanstendur af öllum mælanlegum
föllum á R þannig að χ K f ∈ L p (R) fyrir öll þjöppuð K (staðheildanlegt).
Þá er f ∗ g ver skilgreint fall á R með
∫
f ∗ g(x) =
∫
f(x − y)g(y) dy =
f(y)g(x − y) dy
þar sem heildað er yr stoð g sem er þjappað mengi. Við höfum að f ∗ g ∈ C ∞ (R) og
∫
(f ∗ g) (j) (x) =
f(y)g (j) (x − y) dy = f ∗ g (j) (x)
7.2 Földun og nálganir
Látum ϕ ∈ L 1 (R), ∫ ϕ dx = 1, ε > 0,
Þá er ϕ ε ∈ L 1 (R) og ∫ ϕ ε dx = 1.
Ef f ∈ L ∞ (R), þá er
∫
f ∗ ϕ ε (x) =
ϕ ε (x) = 1 ε ϕ ( x
ε
)
f(x − y) 1 ( y
) ∫
ε ϕ dy =
ε
Ef f er samfellt í x, þá fæst skv. Lebesgue að
lim f ∗ ϕ ε(X) = f(x)
ε→0
f(x − εy)ϕ(y) dy
7.2.1 Dirac-runur
(7.7) Skilgreining Runa ϕ n í L 1 (R) nefnist Dirac-runa ef ϕ n ≥ 0, ∫ ϕ n dm = 1
og um sérhvert δ > 0 gildir að
∫
R\[−δ,δ]
ϕ n dm → 0,
n → ∞
(7.8) Hjálparsetning Ef ϕ ∈ L 1 (R), ϕ ≥ 0, ∫ ϕ dm = 1 og við skilgreinum
ϕ n (x) = 1 ( ) x
ϕ
ε n ε n
þar sem ε n > 0 og ε n → 0, þá er ϕ n Dirac-runa.
71