Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

KAFLI 5. ALSAMFELLD MÁL
(ii) Ef P j ∈ X eru jákvæð, j = 1, 2, 3, . . ., þá er +∞ ⋃
j=1
P j jákvætt.
(iii) Ef E ∈ X og λ(E) ≥ 0, þá er til jákvætt P ∈ X þ.a. P ⊆ E og λ(P ) ≥ λ(E).
Sönnun.
(i) Ef E ∈ X, þá er E ∩ Q = (E ∩ Q) ∩ P og því λ(E ∩ Q) = λ((E ∩ Q) ∩ P ≥ 0
(ii) Ef E ∈ X, þá eru mengin E 1 = E ∩ P 1 , E j = (E ∩ P j ) \ (P 1 ∪ · · · ∪ P j−1 ), j ≥ 2
sundurlæg og því er
λ(E ∩ P ) =
=
+∞∑
j=1
+∞∑
j=1
λ(E j ) =
+∞∑
j=1
λ((E ∩ P j ) \ (P 1 ∪ · · · ∪ P j−1 ))
λ((E ∩ P ′ 1 ∩ · · · ∩ P ′ j−1) ∩ P j ) ≥ 0
(iii) Ef E er jákvætt, þá tökum við P = E. Gerum því ráð fyrir að E sé ekki jákvætt.
Látum n 1 vera minnstu náttúrlegu töluna þannig að til er E 1 ⊆ E, E 1 ∈ X með
λ(E 1 ) < − 1 n 1
.Hugsum okkur nú að k > 1, k ∈ N og að fyrir j ∈ [1, k − 1] höfum
við valið E j ⊆ E, E j ∈ X og n j ∈ N, þannig að E j eru sundurlæg og n j er
minnsta náttúrlega talan þannig að λ(E j ) < − 1 n j
. Ef E \ k−1 ⋃
E j er jákvætt, þá
j=1
veljum við P sem þetta mengi og þrepun er lokið með E k = E k+1 = · · · = ∅.
Annars tökum við E k ⊆ E\ k−1 ⋃
E j valið þannig að λ(E k ) ≤ − 1
n k
og n k er minnsta
j=1
mögulega náttúrlega talan sem hægt er að velja. Nú setjum við N = +∞ ⋃
E j og
j=1
P = E \ N. Mengin E j eru sundurlæg og því er
λ(E) = λ(P ) + λ(N) = λ(P ) +
+∞∑
j=1
λ(E j ) ≤ λ(P )
Á þessu sést líka að λ(E) ≥ 0 hefur í för með sér að −∞ ≤ +∞ ∑
λ(E j ) ≤ 0 og þar
með er +∞ ∑
1/n k < +∞. Því gildir sérstaklega að n k → +∞.
k=1
Við þurfum nú að sanna að P sé jákvætt, þ.e.a.s. að λ(P ∩A) ≥ 0 fyrir öll A ∈ X.
Við höfum að
P ⊆ E \
k⋃
j=1
svo að P getur ekki innihaldið neitt mælanlegt mengi B með λ(B) ≤ −1/n k .
Fyrst n k → +∞, þá sést af þessu að λ(B) ≥ 0 fyrir öll B ⊆ P. Þar með fæst að
λ(A ∩ P ) ≥ 0 fyrir öll A ∈ X.
□
Sönnun (Sundurliðunarsetning Hahns). Ef λ tekur gildið +∞, þá skiptum við á λ og
−λ. Við getum því g.r.f. að λ taki ekki gildið +∞. Skilgreinum nú
54
E j
∀k
α := sup{λ(A) | A ∈ X , A jákvætt m.t.t. λ}
j=1