Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

KAFLI 3. MARGFELDI MÁLRÚMA
Sönnun. Veljum vaxandi runur (X n ) +∞
n=1 og (Y n ) +∞
n=1 af mengjum í X og Y með endanleg
mál, X = ⋃ X n og Y = ⋃ Y n . Setjum síðan Z n = X n × Y n . Þá er (µ × ν)(Z n ) < +∞ og
X × Y = ⋃ X n × Y n . Okkur dugir að sanna að ν(E (·) ) sé mælanlegt og að
∫
X
ν(E (·) ) dµ = µ × ν(E),
því sönnunin á hinni staðhængunni er eins. Setjum
ν(E (·) ) dµ = µ × ν(E)}
E = {E ∈ X × σ Y | ν(E (·) ) er mælanlegt og ∫ X
Viljum sanna að E = X × σ Y. Það gerum við með því að sýna að E sé einhalla mengjaalgebra.
(1) Látum (E n ) vera vaxandi runu í E og setjum E = ⋃ E n . Þá er (E nx ) vaxandi
runa í Y og E x = ⋃ E nx . Reglan um vaxandi samleitni gefur að
40
lim ν(E nx) = ν(E x ),
n→+∞
∀x ∈ X
Skv. skilgreiningu á E eru öll föllin x ↦→ ν(E nx ) mælanleg og því verður markgildið
x ↦→ ν(E x ) það einnig. Reglan um vaxandi samleitni gefur
lim
n→+∞
∫
X
∫
ν(E nx ) dµ(x) =
X
ν(E x ) dµ(x)
Við höfum því að E ∈ E.
(2) Tökum E, F ∈ E og g.r.f. að E ∩ F = ∅. Þá eru x ↦→ ν(E x ) og x ↦→ ν(F x )
mælanleg,
og
∫
∫
X
ν(E x ) dµ(x) = (µ × ν)(E)
ν(F x ) dµ(x) = (µ × ν)(F )
X
Nú er
x ↦→ ν((E ∪ F ) x ) = ν(E x ∪ F x ) = ν(E x ) + ν(F x )
því E x ∩ F x = ∅. Þetta segir okkur að x ↦→ ν((E ∪ F ) x ) sé mælanlegt.
Við höfum
∫
X
ν((E ∪ F ) x ) dµ(x) =
∫
X
∫
(ν(E x ) + ν(F x )) dµ(x) =
= (µ × ν)(E) + (µ × ν)(F ) = (µ × ν)(E ∪ F )
X
∫
ν(E x ) dµ(x) + ν(F x ) dµ(x)
X
Við höfum sýnt að E ∪ F ∈ E. Með þrepun fáum við að sérhvert endanlegt
m⋃
sammengi E j er í E ef E j eru sundurlæg í E. Skilgreinum fyrir n = 1, 2, 3, . . .
j=1
E n = {E ∈ X σ × Y | E ∩ Z n ∈ E}
(3) +∞ ⋂
E n ⊆ E:
n=1
Þetta er ljóst, því runan (E ∩ Z n ) er vaxandi og E = +∞ ⋃
E ∩ Z n ∈ E skv. (1).
n=1