Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

KAFLI 3. MARGFELDI MÁLRÚMA
Sönnun (Setning Tonelli). Hjálparsetningin gefur tilfellið þegar F er kennifall. Af henni
leiðir setningin beint fyrir einföld föll
Φ =
m∑
a j χ Ej
j=1
Fyrir almennt fall F tökum ð vaxandi runu af kenniföllum Φ n ↗ F. Setningin um
vaxandi samleitni gefur
∫
ϕ n (x) =
Y
∫
Φ n (x, y) dν(y) −→
Y
F x dν = f(x)
Samkvæmt hjálparsetningu (hs) eru ϕ n mælanleg og af því leiðir að f er mælanlegt.
Setningin um vaxandi samleitni (vs) gefur
∫
X×Y
F d(µ × ν)
∫
vs
= lim
n→+∞
∫
vs
= f dµ
X
X×Y
Staðhængin um fallið g er sönnuð með hliðstæðum hætti.
Φ n d(µ × ν) = hs ∫
lim ϕ n (x) dµ(x)
n→+∞
X
(3.15) Setning (Fubini) Gerum ráð fyrir að (XX , µ) og (Y, Y, ν) séu σ-endanleg og
F : X × Y → R eða F : X × Y → C sé X σ × Y-mælanlegt og F ∈ L 1 (µ × ν).
(1) Um næstum öll x ∈ X er F x ∈ L 1 (ν).
(2) Um næstum öll y ∈ Y er F y ∈ L 1 (µ).
(3) Föllin f og g sem skilgreind eru næstum alls staðar með
eru heildanleg og
∫
f(x) =
∫
X
∫
F x dν og g(y) =
∫
f dµ =
X×Y
∫
F d(µ × ν) =
Y
Y
F y dµ
g dν .
□
3.5 Lebesgue-málið á R n
Ef X 1 , . . . , x n eru mengi og X 1 , . . . , X n eru σ-algebrur á þeim, þá má skilgreina mengjaalgebru
X a × · · · a
× X n
sem minnstu mengjaalgebru sem inniheldur öll margfeldismengi
42
E 1 × · · · × E n ,
E j ∈ X j