Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

KAFLI 1. FRUMATRIÐI UM MÁLRÚM
Við höfum
og
⋃
A n =
n∈N
n ⋃
i=1
A i =
+∞ ⋃
A n
n=0
⋃
i∈{1,...,n}
(1.3) Skilgreining Mengjaalgebra á X er X ⊆ P(X) sem uppfyllir:
(i) ∅ ∈ X
(ii) Ef A ∈ X, þá er A ′ ∈ X
(iii) Ef A 1 , A 2 ∈ X, þá er A 1 ∪ A 2 ∈ X
(1.4) Athugasemd Með þrepun fæst
og
A 1 , . . . , A n ∈ X
n⋂
A i =
i=1
⇒
A i
n⋃
A i ∈ X
i=1
(
n⋂
n ′
⋃
(A ′ i) ′ = A i) ′ ∈ X
i=1
(1.5) Setning Mengjaalgebra X á X er safn hlutmengja af X sem inniheldur ∅ og X
og er lokuð við þær aðgerðir að taka fyllimengi og endanlega snið- og sammengi.
(1.6) Skilgreining σ-algebra á X er X ⊆ P(X) sem uppfyllir (i) og (ii) og
(iii)' Ef A i ∈ X , i = 1, 2, 3, . . ., þá er ⋃ +∞
i=1 A i ∈ X.
(Þ.e. teljanleg sammengi í stað endanlegra.)
(1.7) Setning
(i) Allar σ-algebrur eru mengjaalgebrur.
(ii) σ-algebra X á X er safn hlutmengja af X sem inniheldur ∅ og X og er lokuð við
þær aðgerðir að taka fyllimengi og teljanleg snið- og sammengi.
(1.8) Athugasemd
(i) {∅, X} er minnsta σ-algebran á X og P(X) sú stærsta.
(ii) Ef X i , i ∈ I eru σ-algebrur á X, þá er
σ-algebra á X.
(1.9) Skilgreining Ef A ⊆ P(X) og við látum I vera mengi allra σ-algebra sem
innihalda A, þá fæst
A σ = ⋂ X ∈I
X
⋂
i∈I
i=1
sem er minnsta σ-algebran sem inniheldur mengið A.
2
X i