Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

KAFLI 1. FRUMATRIÐI UM MÁLRÚM
Af (iii) leiðir að
Þetta gefur að
Ef µ(E) < +∞, þá fæst
Ef (E j ) er runa í X, þá gildir alltaf
µ(F ) = µ(E) + µ(F \ E) .
µ(E) ≤ µ(F ) . (1.1)
µ(F \ E) = µ(F ) − µ(E) . (1.2)
⎛
µ ⎝
Þetta sjáum við með því að líta á
Þá er
og
og þar með
⎛
µ ⎝
+∞ ⋃
j=1
⎞ ⎛
E j
⎠ = µ ⎝
+∞ ⋃
j=1
⎞
+∞∑
E j
⎠ ≤ µ(E j )
F j = E j \
+∞ ⋃
j=1
E j =
F j ∩ F k = ∅
+∞ ⋃
j=1
j=1
j−1
⋃
k=1
E k
+∞ ⋃
F j
j=1
ef j ≠ k
⎞
+∞∑
F j
⎠ = µ(F j ) F j⊆E j
≤
j=1
+∞∑
j=1
µ(E j )
(1.39) Dæmi Ef X er mengi og við tökum X = P(X), þá er µ : P(X) → R + ,
µ(A) = #A = fjöldi staka í A
mál og það nefnist talningarmál X.
♦
(1.40) Skilgreining Málrúm er þrennd (X, X , µ) þar sem X er mengi, X er σ-
algebra og µ er mál á X.
Málið µ nefnist líkindamál ef µ(X) = 1.
Málið µ er sagt vera endanlegt ef µ(X) < +∞. Málið µ er sagt vera σ-endanlegt
ef til er þakning (E j ) á X þ.a. µ(E j ) < +∞.
(1.41) Hjálparsetning Látum µ vera mál á X .
10
(i) Ef E j er vaxandi runa í X , þá er
⎛
µ ⎝
+∞ ⋃
j=1
⎞
E j
⎠ = lim µ(E j)
n→+∞