Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

(ii) Ef F j er minnkandi runa í X og µ(F 1 ) < +∞, þá er
⎛ ⎞
+∞ ⋂
µ ⎝ F j
⎠ = lim µ(F j)
j→+∞
Sönnun.
j=1
KAFLI 1. FRUMATRIÐI UM MÁLRÚM
(i) Skilgreinum A 1 = E 1 , A j = E j \ E j−1 . Þá eru (A j ) sundurlæg og
⎛
µ ⎝
+∞ ⋃
j=1
⎞ ⎛
E j
⎠ = µ ⎝
+∞ ⋃
j=1
+∞ ⋃
j=1
⎛
= lim µ ⎝
n→+∞
A j =
+∞ ⋃
E j
j=1
⎞
+∞∑
A j
⎠ = µ(A j ) =
n⋃
j=1
j=1
A j
⎞
⎠ =
lim
n→+∞
j=1
lim µ(E n)
n→+∞
n∑
µ(A j )
(ii) Beitum (i) á vaxandi rununa E j = F 1 \ F j
⎛
µ(F 1 ) − µ ⎝
+∞ ⋂
j=1
⎞ ⎛
F j
⎠ = µ ⎝F 1 \
+∞ ⋂
j=1
⎞ ⎛
F j
⎠ = µ ⎝
+∞ ⋃
j=1
(i)
= lim µ(F 1 \ F n ) = µ(F 1 ) −
n→+∞
⎞
(F 1 \ F j ) ⎠
lim µ(F j)
j→+∞
□
1.4 Heildi jákvæðra falla
(1.42) Skilgreining Látum E ∈ X. Við skilgreinum heildið af χ E m.t.t. málsins
µ með
Ef ϕ er einfalt fall, þá látum við
∫
X
χ E dµ = µ(E)
ϕ =
n∑
a j χ Ej
vera stöðluðu framsetninguna á ϕ og skilgreinum heildið af ϕ m.t.t. µ sem
∫
X
ϕ dµ =
j=1
n∑
a j µ(E j )
j=1
Almennt: Ef f ∈ M + (X, X ), þá skilgreinum við
∫
X
⎧
⎨∫
f dµ = sup
⎩
Athugum að gildi heildisins er á bilinu [0, +∞].
X
ϕ dµ; ϕ ∈ M + (X, X ) einfalt fall og ϕ ≤ f
⎫
⎬
⎭
11