Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

(b) Sýnum að
Athugum að
E, F ∈ A ∗ ⇒ E ∩ F ∈ A ∗
KAFLI 2. LEBESGUE-MÁLIÐ Á R
µ ∗ (A ∩ E ∩ F ) + µ ∗ (A ∩ (E ∩ F ) ′ )
= µ ∗ (A ∩ E ∩ F ) + µ ∗ (A ∩ (E ′ ∪ F ′ ))
= µ ∗ (A ∩ E ∩ F ) + µ ∗ (A ∩ (E ′ ∪ F ′ ) ∩ E) + µ ∗ (A ∩ (E ′ ∪ F ′ ) ∩ E ′ )
= µ ∗ (A ∩ E ∩ F ) + µ ∗ (A ∩ F ′ ∩ E) + µ(A ∩ E ′ )
= µ ∗ (A ∩ E) + µ ∗ (A ∩ E ′ ) = µ ∗ (A)
(c) Með þrepun fæst að E 1 ∩ · · · ∩ E m ∈ A ∗ ef E 1 , . . . , E m ∈ A ∗ og af því leiðir að
E 1 ∪ · · · ∪ E m = (E ′ 1 ∩ · · · ∩ E′ m) ′ ∈ A ∗ . Þar með er A ∗ mengjaalgebra.
(d) Mengjafallið
A ∗ ∋ E ↦−→ µ ∗ (A ∩ E) ∈ [0, +∞]
er endanlega samleggjandi fyrir sérhvert A ∈ P(X):
Sö. Látum E, F ∈ A ∗ , E ∩ F = ∅. Þá er
µ ∗ (A ∩ (E ∪ F )) = µ ∗ (A ∩ (E ∪ F ) ∩ E) + µ ∗ (A ∩ (E ∪ F ) ∩ E ′ )
Nú er E ∩ E ′ = ∅ og F ⊆ E ′ , svo
µ ∗ (A ∩ (E ∪ F )) = µ ∗ (A ∩ E) + µ ∗ (A ∩ F )
(e) A er σ-algebra og ∗ µ er teljanlega samleggjandi á ∗ A .
∗
Sö. Látum (E n ) +∞
n=1 vera sundrulæga runu í A og setjum ∗ E = +∞ ⋃
E n . Fyrir
n=1
⋃
sérhvert n er n E j ∈ A , því ∗ A er algebra.
∗
j=1
µ ∗ (A) = µ ∗ (A ∩
sbr. (d)
=
≥
Látum nú n → +∞. Þá fæst
Vitum að
+∞∑
j=1
n⋃
E j ) + µ ∗ (A \
j=1
n∑
µ ∗ (A ∩ E j ) + µ ∗ (A \
j=1
+∞∑
j=1
µ ∗ (A ∩ E j ) + µ ∗ (A \
µ ∗ (A ∩ E j ) + µ ∗ (A \ E) ≤ µ ∗ (A)
µ ∗ (A) ≤ µ ∗ (A ∩ E) + µ ∗ (A \ E) ≤
+∞∑
j=1
n⋃
E j )
j=1
n⋃
E j )
j=1
n⋃
E j )
j=1
µ ∗ (A ∩ E j ) + µ ∗ (A \ E)
25