Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

KAFLI 8. FOURIER-UMMYNDUN
Til þess að sanna a𠈵 sé samfelld í j.m. tökum við ε > 0. Veljum fyrst A > 0 þannig að
|µ|(R \ [−A, A]) < ε 4
Ef ξ, η ∈ R, þá er
∫
|ˆµ(ξ) − ˆµ(η)| ≤
|e −ixξ − e −ixη | d|µ|(x) + 2
∫
d|µ|
R\[−A,A]
Fyrir sérhvert fall f ∈ X 1 (R) gildir að |f(ξ) − f(η)| ≤ |ξ − η| sup t |f ′ (t)| þar sem efra
mark er tekið yr öll t á milli ξ og η. Við fáum því
|ˆµ(ξ) − ˆµ(η)| ≤
∫
|ξ − η| |x| d|µ|(x) + ε 2
Nú veljum við δ > 0 þannig að
δ
∫
[−A,A]
|x| d|µ|(x) < ε 2
[−A,A]
Þá sjáum við að
ef |ξ − η| < δ, þá er |ˆµ(ξ) − ˆµ(η)| < ε .
Þar með er ˆµ samfellt í j.m. á R.
(8.15) Skilgreining Földun tveggja hleðslna er skilgreind með
∫∫
µ ∗ ν(E) = χ E (x + y) dµ(x) dν(y)
□
Við fáum að
∫∫
∫
̂µ × ν(ξ) = e −i(x+y)ξ dµ(x) dν(y) =
R 2
R 2
e −iyξ (∫
)
e −ixξ dµ(x) dν(y) = ˆµ(ξ)ˆν(ξ)
Földunin gerir M(R) að Banach-algebru.
Reglan
alhæst í
því fallið
∫
∫
fĝ dm = ˆfg dm
∫ ∫
ˆν dµ =
ˆµ dν
f, g ∈ L 1 (R)
(x, ξ) ↦→ e −ixξ 81