А,В,Соколов, 0,М, Степанюк - Скачать документы

412
основе эллиптических кривых труднее, чем взломать 512-битный несимметричный
шифр RSA, который сегодня является промышленным стандартом.
Несколько позднее канадской компанией Certicom, занимающейся вопросами шифрования,
которая хотела привлечь исследователей к тестированию уровня защиты,
обеспечиваемого алгоритмом ЕСС (Elliptic Curve Cryptography), было инициировано
исследование, посвященное анализу уже 109-разрядного ключа. Эта задача, получившая
известность под кодовым наименованием ЕСС2К. 108, была решена с помощью
распределенной сети, включающей большое число компьютеров. В ее решении приняли
участие 1300 человек из 40 стран, перебиравшие всевозможные комбинации ключей
до тех пор, пока не был обнаружен искомый. Исходное тестовое сообщение было
закодировано с помощью метода эллиптических кривых.
В своем проекте Certicom использовала свободно распространяемое программное
обеспечение, которое Роберт Харли разработал для вычисления более 215 точек на
эллиптической кривой, относящейся к классу кривых Коблитца. Данные о 2 млн «выделенных»
точек были посланы на сервер AlphaServer в INRIA, где участники могли в
реальном времени наблюдать за поиском ключа. Для взлома алгоритма использовались
9500 компьютеров в Internet. По данным INRIA, две трети вычислений пришлось
на долю рабочих станций с операционной системой Unix, а одна треть — на компьютеры
с Windows.
На решение такой задачи на одном компьютере с процессором Pentium И/450 МГц
потребовалось бы примерно 500 лет. «Объем вычислений, проделанных нами, больше,
чем нужно для взлома системы, защищенной открытым ключом наподобие RSA
длиной как минимум 600 разрядов», — отметил Эрьен Ленстра, вице-президент по
технологиям подразделения Citibank в Нью-Йорке, который также принимал участие
в проекте. И это с учетом того, что компания Certicom выбрала кривую, отличающуюся
свойствами, упрощающими задачу взлома кода, и была проделана примерно десятая
часть всех вычислений, которые в обычных условиях должны потребоваться для
взлома 109-разрядного ключа при шифровании по кривой. Проведенный проект показал
относительную уязвимость некоторых кривых с особыми свойствами и подтвердил
тот факт, что произвольные кривые лучше подходят для оптимальной защиты.
Остановимся вкратце на рассмотрении метода эллиптических кривых, использованного
в новом стандарте на электронную цифровую подпись. Эллиптическая кривая
описывается математическим уравнением вида:
у2 = хЗ + ах + Ь,
где все вычисления выполняются по модулю выбранного просто числа р и 4аЗ +
27Ь2 = 0.
Этот случай называется нечетным, т. к. модуль р берется для некоторого числа
нечетных значений р. Четный случай аналогичен, но вычисления при этом ведутся в
конечном поле GF(2m) для некоторого целого числа т.
Проблему дискретного логарифма DLP (Discrete Logarithm Problem) кратко можно
сформулировать так: «По заданному простому числу р, основанию g и значению
gx(mod р) найти значение х». Причем проблема может быть сформулирована в ограниченной
области.