pdf - Univerzitet u Novom Sadu

2 Uvod1.1.1 Nuklearni Hilbertovi prostoriDefinicija 1.1.1 Neka je E vektorski prostor, {E α } α∈Λ familija lokalno konveksnihprostora i {h α } α∈Λ familija linearnih preslikavanja takvih da h α :E → E α i ⋂ α∈Λ h−1 α (0) = 0. Najgrublja topologija na prostoru E u odnosuna koju su sva preslikavanja h α neprekidna, naziva se projektivna topologija.Prostor E sa projektivnom topologijom je lokalno konveksan prostor.Uslov ⋂ α∈Λ h−1 α (0) = 0 znači da je prostor E Hausdorffov.Definicija 1.1.2 Neka je E vektorski prostor, {E α } α∈Λ familija lokalno konveksnihprostora i {g α } α∈Λ familija linearnih preslikavanja takvih da g α :E α → E i ⋃ α∈Λ g α(E α ) = E. Najfinija lokalno konveksna topologija naprostoru E u odnosu na koju su sva preslikavanja g α neprekidna, naziva seinduktivna topologija.U daljem radu ćemo se ograničiti na razmatranje lokalno konveksnih prostorakoji se mogu konstruisati kao presek odgovarajuće familije Hilbertovihprostora.Definicija 1.1.3 Neka je V realan vektorski prostor sa datim nizom skalarnihproizvoda (·|·) n , n ∈ N koji indukuju norme | · | n , redom. Kažemo da je ovafamilija skalarnih proizvoda kompatibilna ako za svako n, m ∈ N, za svakiniz {x k } u V koji po | · | n teži nuli i Cauchyjev je po | · | m , teži nuli i po | · | m .Definicija 1.1.4 Neka su V i W separabilni Hilbertovi prostori. OperatorA : V → W je operator Hilbert-Schmidt tipa (ili skraćeno HS-tipa), akopostoje ortonormirane baze {e n } u prostoru V i {f n } u prostoru W , i akopostoji niz brojeva λ n > 0 sa osobinom ∑ n∈N λ2 n < ∞ tako da jeA(x) = ∑ n∈Nλ n (e n |x)f n . (1.1)Teorema 1.1.1 Operator A je HS-tipa ako i samo ako za svaku ortonormiranubazu {e n } u prostoru V važi∑|A(e n )| 2 < ∞. (1.2)n∈NKorenom leve strane prethodnog izraza definisana je Hilbert-Schmidtova normaoperatora A, u oznaci ‖A‖ HS .