pdf - Univerzitet u Novom Sadu

2.1 Prostor verovatnoće belog šuma 39Prema prethodnoj teoremi možemo proširiti dejstvo elemenata iz ω ∈S ′ (R d ) i na funkcije φ ∈ L 2 (R d ), što ćemo označavati sa 〈ω, φ〉 ali podrazumevamoda je to u stvari〈ω, φ〉 = (L) 2 − lim n→∞ 〈ω, φ n 〉. (2.12)Teorema 2.1.4 Neka je t = (t 1 , . . . , t d ) ∈ R d i χ [0,t] = χ [0,t1 ]×···×[0,t d ] ∈L 2 (R d ) karakteristična funkcija pravougaonika [0, t]. Tada je saB(t, ω) = 〈ω, χ [0,t] 〉 (2.13)definisano d-parametarsko Brownovo kretanje na prostoru verovatnoće(S ′ (R d ), B, µ).Dokaz: Očigledno je B(0, ·) = 0 s.s. u odnosu na meru µ. Koristećirelaciju (2.4) lako se pokazuje da za proizvoljno n ∈ N, slučajna promenljiva(B(t (1) , ω), . . . , (B(t (n) , ω)) ima n-dimenzionalnu normalnu raspodelu sa nulaočekivanjemi kovarijansnom matricom n × n koja na (i, j)-tom polju ima element∏ dl=1 min{t(i) l, t (j)l}, gde su t (1) , . . . , t (n) ∈ R d . Neka su k ∈ {1, . . . , n}i s (k) ∈ R d proizvoljni. Posmatrajući k-tu komponentu B(t (k) , ω) pomoćurelacije (2.11) dobijamo da je priraštaj B(t (k) , ω) − B(s (k) , ω) normalno raspored¯ensa nula očekivanjem i disperzijom jednakoj ∏ dl=1 |t(k) l− s (k)l|. □Definicija 2.1.6 Uglačani beli šum je preslikavanje w : S(R d ) × S ′ (R d ) → Rdato saw(φ, ω) = 〈ω, φ〉. (2.14)Teorema 2.1.5 Za proizvoljno φ ∈ L 2 (R d ) je Itôv integral dat sa∫R d φ(t)dB(t, ω) = 〈ω, φ〉, ω ∈ S ′ (R d ). (2.15)Dokaz: Kako je φ ∈ L 2 (R d ) deterministička funkcija, uslov (1.88) je zadovoljen.Neka je ω ∈ S ′ (R d ) proizvoljno, fiksirano. Funkciju φ možemoaproksimirati nizom stepenastih funkcija f n (t) = ∑ j e j,nχ [tj ,t j+1 ](t), n ∈ Nkoji u L 2 (R d ) konvergira ka φ. Tada je〈ω, f n 〉 = 〈ω, ∑ je j,n χ [tj ,t j+1 ]〉 = ∑ je j,n 〈ω, χ [0,tj+1 ] − χ [0,tj ]〉= ∑ je j,n (B(t j+1 , ω) − B(t j , ω))