pdf - Univerzitet u Novom Sadu

18 UvodTeorema 1.1.35 Vektori {λ −pn η n } čine ortonormiranu bazu prostora S p (R d ).Norma |f| p = |A p f| 0 se ekvivalentno može zapisati kao|f| 2 p = (A p |A p ) 0 =gde je (·|·) 0 skalarni proizvod u L 2 (R d ).∞∑n=1λ 2pn (f|η n ) 2 0 (1.44)Poznata je karakterizacija Schwartzovih prostora preko ermitskih funkcija(slučaj d = 1):Teorema 1.1.36 Funkcija f pripada prostoru S(R) ako i samo ako je oblikaf = ∑ k∈N a kξ k , gde ∑ k∈N kp |a k | 2 < ∞ za svako p ∈ N i koeficijenti su datisa a k = 〈f, ξ k 〉 ∈ C.Teorema 1.1.37 Funkcija f pripada prostoru S ′ (R) ako i samo ako je oblikaf = ∑ k∈N a kξ k (red konvergira u S ′ ) , gde ∑ k∈N k−p |a k | 2 < ∞ za neko p ∈ Ni koeficijenti su dati sa a k = 〈f, ξ k 〉 ∈ C.Primer 1.1.1 Diracova delta distribucija ima razvoj√(−1) k4√ πδ(x) = ∑ n∈Nξ n (0)ξ n (x) = ξ 1 (x) + ∑ n∈N,n=2k+11.1.7 Prostori Zemaniana(2k − 1)!!ξ n (x).(2k)!!Neka je I otvoren interval u R i L 2 (I) skup kvadratno integrabilnih funkcijanad I sa Lebesgueovom merom. Prostor L 2 (I) je Hilbertov sa skalarnimproizvodom (f|g) = ∫ f(x)g(x)dx.INeka je R samoadjungovan linearan diferencijalni operator oblikaR = θ 0 D n 1θ 1 · · · D nν θ ν = ¯θ ν (−D) nν · · · (−D) n 2 ¯θ1 (−D) n 1 ¯θ0 (1.45)gde je D = d/dx, θ k su glatke kompleksne funkcije bez nula u intervalu I, an k su prirodni brojevi k = 1, 2, . . . , ν. Pretpostavimo da postoje niz realnihbrojeva {λ n : n ∈ N} i niz glatkih funkcija {ψ n : n ∈ N} u L 2 (I) koji sukarakteristični koreni resp. karakteristični vektori operatora RRψ n = λ n ψ n , n ∈ N. (1.46)Bez ograničenja opštosti možemo pretpostaviti da je niz apsolutnih vrednostikarakterističnih korena u rastućem poretku. Dakle,|λ 1 | ≤ |λ 2 | ≤ |λ 3 | ≤ · · · → ∞.