pdf - Univerzitet u Novom Sadu

20 Uvodgust u svakom A k , k ∈ N 0 , kao i u Zemanianovom prostoru A. Važi(u skupovnom smislu):{A = ⋂ k∈N A k =A ′ = ⋃ k∈N A −k =f ∈ L 2 (I) : f = ∑ ∞n=1 a nψ n , ∀k, ∑ }∞n=1 |a n| 2˜λn 2k< ∞{f ∈ L 2 (I) : f = ∑ ∞n=1 b nψ n , ∃k, ∑ }∞n=1 |b n| 2˜λn −2k< ∞(1.51)(red konvergira u slaboj topologiji A ′ ). Više od toga: projektivna topologijana A se poklapa sa topologijom datoj u definiciji 1.1.39, i induktivna topologijau A ′ ekvivalentna je jakoj topologiji.Dakle prostor Zemaniana A je prebrojiv Hilbertov. Ortonormiranu bazuprostora A k čini familija funkcija {λ −knako za neko c ∈ N 0 važi∑ −c˜λ n < ∞.n∈Nψ n : n ∈ N}. Prostor A je nuklearanU ovakvom formalnom zapisu sa redovima, dejstvo elementa f = ∑ ∞n=1 a nψ n ∈A ′ na test funkciju ϕ = ∑ ∞n=1 b nψ n je dato sa〈f, ϕ〉 =∞∑a n b n .Neka je S snabdeven normom ‖ · ‖ k . Preslikavanje R m : S → A k−m jelinearno i neprekidno za m ≤ k, pa se može proširiti na linearno neprekidnopreslikavanje sa domenom A k (ovo proširenje takod¯e označavamo sa R m ).Pri tome važi∞∑R m ϕ = a n λ m n ψ n (1.52)n=1za proizvoljno ϕ = ∑ ∞n=1 a nψ n ∈ A k . Dalje, možemo definisati R m : A −k →A −k−m sa〈R m f, ϕ〉 = 〈f, R m ϕ〉, ϕ ∈ A k+m (1.53)za proizvoljno f = ∑ ∞n=1 b nψ n ∈ A −k , m ≤ k. Formalno zapisujemo R m f =∑ ∞n=1 b nλ m n ψ n .n=1Teorema 1.1.38 Funkcija f = ∑ ∞n=1 b nψ n pripada prostoru A ′ ako i samoako postoje k ∈ N 0 , F ∈ L 2 (I) i n ∈ Λ takvi da jef = R k F + ∑ n∈Λb n ψ n (1.54)gde je Λ = {n ∈ N 0 : λ n = 0}.