pdf - Univerzitet u Novom Sadu

1.2 Osnovi stohastičke analize 31Definicija 1.2.22 Slučajan proces X t je gausovski proces ako su sve njegovekonačnodimenzionalne raspodele normalne.Gausovski proces je potpuno okarakterisan svojim matematičkim očekivanjemm(t) = E(X t ) i kovarijansnom funkcijom E(X t X s ) − m(t)m(s).Definicija 1.2.23 Neka je (Ω, F, P ) prostor verovatnoće. Familija pod-σalgebri{F t } se naziva filter ako za svako s < t važi F s ⊆ F t .Definicija 1.2.24 Slučajan proces {X t : t ∈ T } je adaptiran filteru {F t }ako je za svako t ∈ T slučajna promenljiva X t (ω) F t -merljiva.Definicija 1.2.25 Slučajan proces {M t } je martingal u odnosu na filter{F t }, ako ima osobine:1. za svako t ∈ T je E(|M t |) < ∞2. za svako s ≤ t je E(M t |F s ) = M sAko se filter ne navodi eksplicitno, podrazumevamo da je F t σ-algebragenerisana familijom slučajnih promenljivih {X s : s ≤ t}.Definicija 1.2.26 Slučajan proces {X t } je markovski proces ako za svakot > s i svaki Borelov skup B iz R d važiskoro sigurno.P {X t ∈ B|F s } = P {X t ∈ B|X s } (1.86)Brownovo kretanjeDefinicija 1.2.27 Sučajan proces {B tkretanje (Wienerov proces) ako važi:: t ∈ [0, ∞)} se naziva Brownovo1. B 0 = 0 skoro sigurno.2. Priraštaji su nekorelirani.3. Za svako 0 < s < t priraštaj B t − B s ima normalnu N(0, (t − s)I)raspodelu, gde je I jedinična d × d matrica.