pdf - Univerzitet u Novom Sadu

12 UvodNeka su H 1 , H 2 Hilbertovi prostori, A 1 , A 2 gusto definisani zatvoreni operatorina H 1 , H 2 respektivno sa domenima Dom(A 1 ), Dom(A 2 ). Njihove konjugovaneoperatore označavamo sa A ′ 1, A ′ 2, pri čemu Dom(A ′ i) ⊆ H ′ i, i = 1, 2i važi da je Dom(A ′ 1) ˜⊗Dom(A ′ 2) gust u H ′ 1 ⊗ H ′ 2 = (H 1 ⊗ H 2 ) ′ .Definicija 1.1.26 Tenzorski proizvod konjugovanih operatora je definisansa(A ′ 1 ˜⊗A ′ 2)h 1 ⊗ h 2 = A ′ 1h 1 ⊗ A ′ 2h 2 (1.28)za proizvoljne elemente h i ∈ Dom(A ′ i), i = 1, 2 i on se može po linearnostiproširiti na Dom(A ′ 1) ˜⊗Dom(A ′ 2).Definicija 1.1.27 Operator A ′ ˜⊗A 1 ′ 2 je gusto definisan nad (H 1 ⊗ H 2 ) ′ i imajedinstveni zatvoreni konjugovani operator, koji označavamo sa A 1 ⊗ A 2 inazivamo tenzorski proizvod operatora.Važi da je Dom(A 1 ) ˜⊗Dom(A 2 ) ⊆ Dom(A 1 ⊗A 2 ), pa je A 1 ⊗A 2 takod¯e gustodefinisan.Indukcijom se lako proširuje definicija tenzorskog proizvoda konačno mnogooperatora i njima konjugovanih operatora.Definicija 1.1.28 Za proizvoljan zatvoren operator A Hilbertovog prostoraH definišemo n-ti tenzorski stepen operatora kaoA ⊗n = A ⊗ · · · ⊗ A} {{ }n(1.29)na prostoru H ⊗n .Svaki Hilbertov prostor H po Rieszovoj teoremi možemo identifikovati sanjegovim dualom H ′ , pa u tom smislu se mogu identifikovati i konjugovanii adjungovani operator. Tačnije, ako su H i , i = 1, 2 Hilbertovi prostori, J iizomorfizmi izmed¯u H i i H i, ′ operator A : H 1 → H 2 , njemu adjungovanioperator A ∗ : H 2 → H 1 i konjugovani operator A ′ : H 2 ′ → H 1, ′ tada važi vezaA ∗ = J1 −1 A ′ J 2 . U tom smislu ćemo konjugovani operator nekada i nazivatiadjungovanim operatorom.Teorema 1.1.17 Ako je operator A samoadjungovan, onda je i A ⊗n samoadjungovan.Sada konstruišemo operator na Fockovom prostoru, polazeći od operatora Ana H.