pdf - Univerzitet u Novom Sadu

1.2 Osnovi stohastičke analize 29Teorema 1.2.9 Ako su X 1 i X 2 integrabilne slučajne promenljive i a 1 , a 2proizvoljne konstante, tada važiE(a 1 X 1 + a 2 X 2 | B) s.s.= a 1 E(X 1 | B) + a 2 E(X 2 | B). (1.79)tj. operator E(· | B) : L 1 (Ω) → L 1 (Ω) je linearan operator nad prostoromintegrabilnih slučajnih promenljivih.Teorema 1.2.10 (o dominantnoj konvergenciji) Neka je dat niz slučajnihs.s.promenljivih {X n } koji konvergira X n → X. Neka postoji Y ∈ L 1 (Ω) tako daje za svako n ∈ N |X n | ≤ Y s.s. Tada važiE(|X n − X| | B) s.s.→ 0. (1.80)Teorema 1.2.11 Neka su X n nenegativne slučajne promenljive za sve n ∈N. Tada∞∑∞∑E( X k | B) = E(X k | B) s.s. (1.81)k=1k=1Teorema 1.2.12 Neka su X, Y slučajne promenljive na (Ω, F, P ) takve dasu X i XY integrabilne. Ako je Y merljiva u odnosu na σ-algebru B, tadajeE(XY | B) = Y E(X | B) s.s. (1.82)1.2.3 Slučajni procesiDefinicija 1.2.18 Neka je T neprazan indeksni skup u R. Familija R d -vrednosnih slučajnih promenljivih {ω ↦→ X t (ω) : t ∈ T } definisanih nad istimprostorom verovatnoće (Ω, F, P ) je slučajan proces sa indeksnim skupom Ti prostorom stanja R d .Iz prethodne definicije direktno sledi da je proces {X t (ω) : t ∈ T } za svakofiksirano t 0 ∈ T slučajna promenljiva (merljivo prelikavanje nad prostoromverovatnoće).Definicija 1.2.19 Neka je {X t (ω) : t ∈ T } slučajan proces. Tada za svakofiksirano ω 0 ∈ Ω imamo preslikavanje X t (ω 0 ) : T → R d koje nazivamo trajektorijaslučajnog procesa.U daljem ćemo slično kao i kod slučajnih promenljivih, izostaviti oznakuω (koja se podrazumeva) i pisati samo X t .