pdf - Univerzitet u Novom Sadu

1.2 Osnovi stohastičke analize 23Modeliranje raznovrsnih prirodnih fenomena u fizici, biologiji, tržišnihkretanja u ekonomiji ili čak i najjednostavnijih igara, neophodno sadrži faktorslučajnosti. Nazovimo to ”slučajnost”, ”sreća”, ”šum” ili jednostavno”nepoznati faktor”. Shvatimo verovatnoću kao meru slučajnosti, kao meruljudskog neznanja ili kao meru realizacije odred¯ene vrste budućnosti; matematičkipristup je potpuno isti.Danas je stohastička analiza jedna od najmodernijih oblasti matematike.Poseduje razvijen matematički aparat u radu sa stohastičkim diferencijalnimjednačinama koje modeliraju fenomene sa nepoznatim faktorima, a kojeshvatamo kao da su se slučajno desili.Ovo poglavlje predstavlja pregled osnovnih pojmova teorije verovatnoćekao što su slučajne promenljive, slučajni procesi, uslovno matematičko očekivanje,martingali itd. Poseban značaj imaju Gaussova raspodela, Brownovokretanje i Itôv integral koji čine osnovu teorije belog šuma.1.2.1 Aksiomatsko zasnivanje teorije verovatnoćeU aksiomatskom zasnivanju teorije verovatnoće se polazi od osnovnog pojmaelementarnog dogad¯aja ω koji se ne definiše eksplicitno, slično kao ni pojmovitačke, prave i ravni u geometriji. Nadalje će skup Ω uvek označavati skupelementarnih dogad¯aja.Definicija 1.2.1 Familija F podskupova od Ω je σ-algebra, ako Ω ∈ F, A ∈⋃F implicira Ω \ A ∈ F, i ako su A i ∈ F, i ∈ N, tada i ∞ A i ∈ F.Definicija 1.2.2 Neka je (Ω, F) merljiv prostor dogad¯aja. Skupovna funkcijaP : F → R naziva se verovatnosna mera ili kraće samo verovatnoća, akoima sledeće osobine: P (A) ≥ 0 za svaki dogad¯aj A ∈ F, P (Ω) = 1, i ako suA 1 , A 2 , A 3 . . . disjunktni dogad¯aji iz F, tada važi P ( ⋃ ∞n=1 A n) = ∑ ∞n=1 P (A n).Definicija 1.2.3 Ured¯ena trojka (Ω, F, P ) gde je Ω prostor elementarnih dogad¯aja,F data σ-algebra dogad¯aja na Ω i P verovatnosna mera na σ-algebriF, naziva se prostor verovatnoće.Definicija 1.2.4 Mera Q je apsolutno neprekidna u odnosu na meru P uprostoru (Ω, F), u oznaci Q ≪ P ako za svako A ∈ F važi da iz P (A) = 0sledi Q(A) = 0. Mere P i Q su ekvivalentne ako je Q ≪ P i P ≪ Q.Teorema 1.2.1 (Radon - Nikodỳm) Neka su P i Q dve mere na prostoru(Ω, F) takve da je Q apsolutno neprekidna u odnosu na meru P. Tada postojii=1