pdf - Univerzitet u Novom Sadu

Glava 2Uopšteni stohastički procesiŠiroku klasu slučajnih procesa koji se na prirodan način javljaju u primenama,nemoguće je definisati na klasičan način. Izvod Brownovog kretanjaodnosno proces belog šuma je možda najpozantiji od njih. Koncept belogšuma se pokazao kao odličan model naglih i velikih fluktuacija u dinamičkimsistemima, ali ga je matematički korektno moguće definisati jedino u okviruteorije uopštenih funkcija (distribucija). Uopšteni stohastički procesi su prviput uvedeni 1955 u radovima I.M. Gel’fanda, N. Vilenkina i K. Urbanika azatim je 80-ih ova teorija doživela snažan razvoj u K. Itôvim i T. Hidinimradovima. Tokom poslednjih decenija za razvoj ove teorije prvenstveno suzaslužni T. Hida, Y. Kondratiev, H. Kuo i B. Øksendal.Ova glava posvećena je raznovrsnim prostorima stohastičkih test i uopštenihfunkcija - to su pre svega dobro poznati Hidini, Kondratievi, a kao novitetuveden je i novi prostor exp(S) ρ . Tekst vodi čitaoca od konstrukcije osnovnogprostora verovatnoće belog šuma, preko Wiener-Itôve haos ekspanzijedo same konstrukcije gore navedenih prostora koji sadrže uopštene stohastičkefunkcije.Generalno, postoje dva pristupa ka proučavanju uopštenih stohastičkihprocesa i prostora koji ih sadrže: pomoću Itôvih integrala i operatora, ilipomoću Fourier-Hermiteovih polinoma. Većina autora se opredeljuje za jedanod ova dva pristupa; na primer u radovima T. Hide i H.H. Kua u velikoj merise koriste integrali i operatori, dok npr. kod Øksendala pretežno preovladavaovaj drugi pristup. Jedan od (manjih) ciljeva u ovoj tezi jeste da se ove dvenotacije objedine.Definisani su uopšteni stohastički procesi različitog tipa: to su procesi tipa(I) i tipa (U) kao što su ih definisali Inaba i Ullrich (videti npr. [23]), kao iprocesi tipa (O) kao što su ih definše Øksendal (videti npr. [17]). Esencijalnideo ove glave - kao i čitave teze - čine teoreme o ekspanziji procesa tipa (I)sa vrednošću u prostoru (S) −1 ili exp(S) −1 .