You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
UNIVERZITET U NOVOM SADUPRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTETDEPARTMAN ZAMATEMATIKU I INFORMATIKUDora SelešiEkspanzija uopštenih stohastičkihprocesa sa primenama u jednačinama- magistarska teza -Novi Sad, 2003
You see things and ask yourself “Why?”, but Idream of things that never existed and askmyself “Why not?”(George Bernard Shaw)
iiparametar računa kao srednja vrednost u odnosu na neku funkciju ϕ iz testprostoraA. U praksi ova funkcija ϕ predstavlja grešku ili impuls odgovoramernog instrumenta kojim se registruje vrednost procesa u datom trenutku.Klasa procesa tipa (O) se na prirodan način potapa u klasu procesa tipa (I).Magistarska teza je posvećena ekspanziji (razlaganju u redove) uopštenihstohastičkih procesa tipa (O) i tipa (I) po ortogonalnoj bazi prostora kvadratnointegrabilnih slučajnih promenljivih L 2 (Ω) i karakterizaciji raznovrsnih prostorauopštenih stohastičkih funkcija. Moćan matematički aparat Wickovogračuna koji je 90-ih razvijen za procese tipa (O) prenosi se i na procese tipa(I) što je posebno značajno sa stanovišta primena u SDJ.Prva glava Uvod posvećena je osnovama matematičkih oblasti na kojimase bazira teorija belog šuma. U ovoj glavi su izloženi poznati rezultati izoblasti funkcionalne analize i teorije verovatnoće vezani za nuklearne prostore,teoriju operatora, Schwartzovih i Zemanianovih distribucija, klasičneslučajne procese, Itôv račun itd.Druga glava sa naslovom Uopšteni stohastički procesi počinje konstrukcijomosnovnog prostora belog šuma (S ′ (R d ), B, µ) i prostorom kvadratnointegrabilnih funkcija (L) 2 nad njime. Na samom početku data je teorema odirektnom razlaganju Hilbertovog prostora (L) 2 u prostore homogenog haosakoji su razapeti Fourier-Hermiteovim polinomima. Zatim su date konstrukcijeprostora različitih test funkcija (S) i uopštenih stohastičkih funkcija (S) ∗nad prostorom belog šuma tj. Gel’fandovih trojki tipa (S) ⊆ (L) 2 ⊆ (S) ∗ .Opisane su izvorne konstrukcije Hide i Kondratieva za ove prostore, a uvedenisu i novi prostori exp(S) −1 . Centralni deo čine teoreme o reprezentacijiklasa procesa tipa (O) i procesa tipa (I) preko njihove haos ekspanzije.Treća glava Wickov proizvod posvećena je operaciji množenja na prostorimauopštenih stohastičkih funkcija. Poznato je da u opštem slučaju nijemoguće definisati množenje uopštenih funkcija koje predstavlja proširenjeklasičnog množenja realnih brojeva, a to je nepovoljno za rešavanje nelinearnihdiferencijalnih jednačina. Ovaj nedostatak se prevazilazi snabdevanjemprostora uopštenih stohastičkih funkcija (S) ∗ tzv. Wickovim proizvodomkoji je kompatibilan sa Skorohodovim integralom. Zapravo pravila klasičnogdiferencijalnog računa sa proizvodom interpretiranim kao Wickov proizvod,zamenjuju Itôv račun za klasične slučajne procese. Originalan deo teze uovoj glavi čini proširenje Wickovog proizvoda i na procese tipa (I) datihekspanzijom preko redova.Magistarska teza sadrži i primere stohastičkih diferencijalnih jednačinakoje opisuju zakone održanja sa belim šumom i evolucionih jednačina čijasu rešenja uopšteni stohastički procesi tipa (I) dati u obliku redova. To suprimeri fenomena koji se javljaju u prirodi, opisani diferencijalnim jednačinamau kojima se faktor slučajnosti modelira belim šumom, ili nekim drugim
iiiuopštenim stohastičkim procesom.♦ ♦ ♦Na ovom mestu želim da izrazim svoju zahvalnost svima koji su mepodržavali i pomagali mi tokom izrade magistarske teze.Zahvaljujem se mojim dragim roditeljima i prijateljima koji su mi pružaliizuzetnu moralnu podršku i puno pomogli u poslednjoj iteraciji čitanja ovogteksta u potrazi za štamparskim greškama.Zahvaljujem se svim mojim bivšim profesorima i ujedno sadašnjim kolegamakoji su svojim dobrim primerom probudili u meni interesovanje za matematikui želju za naučnim radom.Veoma sam zahvalna Danijeli Rajter što je dala niz korisnih sugestija ucilju poboljšanja kvaliteta teze.Izuzetno sam zahvalna profesorici Zagorki Lozanov-Crvenković sa kojomsam provela mnogo vremena u poučnim diskusijama. Pored moga mentora,ona mi je pružila najviše stručne pomoći tokom studija i pri izradi teze.Na kraju, posebno bih želela da se zahvalim mome mentoru, profesoruStevanu Pilipoviću, koji mi je uvek predstavljao neiscrpan izvor znanja ikonstantno pružao snažnu podršku tokom čitavih studija. Od njega sam punonaučila tokom proteklih godina i sigurna sam da bez njegovog usmeravanjaova teza ne bi imala sadašnji oblik.♦ ♦ ♦Magistarska teza je izrad¯ena u okviru projekta MNTR 1835 Metode funkcionalneanalize, ODJ i PDJ sa singularitetima.Novi Sad, 20. decembar 2003.Dora Seleši
SadržajPredgovori1 Uvod 11.1 Osnovi funkcionalne analize . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Nuklearni Hilbertovi prostori . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Proizvod i direktna suma prostora . . . . . . . . . . . . 61.1.3 Fockovi prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.4 Pettisov integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.5 Hermiteovi polinomi i funkcije . . . . . . . . . . . . . . 141.1.6 Schwartzov prostor S(R d ) . . . . . . . . . . . . . . . . 161.1.7 Prostori Zemaniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2 Osnovi stohastičke analize . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.1 Aksiomatsko zasnivanje teorije verovatnoće . . . . . . . 231.2.2 Slučajne promenljive i njihove karakteristike . . . . . . 251.2.3 Slučajni procesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 Uopšteni stohastički procesi 352.1 Prostor verovatnoće belog šuma . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2 Wiener-Itôva haos ekspanzija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3 Prostori stohastičkih test funkcija iuopštenih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.3.1 Hidini prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.3.2 Kondratievi prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.3.3 Kondratievi prostori u višedimenzionalnom slučaju . . 482.3.4 Prostori exp(S) ρ i exp(S) −ρ . . . . . . . . . . . . . . . 522.4 Tipovi uopštenih stohastičkih procesa . . . . . . . . . . . . . . 542.4.1 Ekspanzija procesa tipa (O) . . . . . . . . . . . . . . . 572.4.2 Ekspanzija procesa tipa (I) . . . . . . . . . . . . . . . . 592.4.3 Primene na stohastičke diferencijalne jednačine . . . . 69
viSADRŽAJ3 Wickov proizvod 733.1 Wickov proizvod u prostoru Kondratieva i u exp(S) −1 . . . . . 733.2 Skorohodov integral i Wickov račun . . . . . . . . . . . . . . . 803.3 Wickov proizvod procesa tipa (I) . . . . . . . . . . . . . . . . 84Literatura 92Spisak učestalih oznaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Biografija 99Ključna dokumentacijska informacija . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Glava 1UvodU ovoj glavi su date osnovne definicije i teoreme iz oblasti funkcionalneanalize i klasične teorije verovatnoće koje će biti korišćene u nastavku, aneophodne su za razumevanje teze kao celine. Većina izloženog materjalasadrži dobro poznata tvrd¯enja, stoga će biti navedena bez dokaza, uz pojedinekomentare i upućivanja na detaljniju literaturu.1.1 Osnovi funkcionalne analizeNuklearni Hilbertovi prostori i Gel’fandove trojke su jedan od osnovnih pojmovakoji se koriste u beskonačnodimenzionalnoj analizi i teoriji belog šuma.U prvom odeljku ovog poglavlja su opisane struktura i osobine ovih prostora.Detaljni dokazi ovde izloženih tvrd¯enja mogu se naći npr. u knjizi [9].Poglavlje dalje upoznaje čitaoca sa konstrukcijom Fockovih prostora ioperatora druge kvantizacije, koji čine važan matematički aparat ove teorije.U narednom odeljku se mogu naći definicija i poznata svojstva Hermiteovihpolinoma i funkcija koje su usko, i na vrlo prirodan način povezane saGaussovom raspodelom u teoriji verovatnoće, pa i sa teorijom belog šuma.Na kraju, opisane su dve klase prostora koji će se u velikoj meri koristitiu daljem radu. Prvu čine dobro poznat Schwartzov prostor temperiranihdistribucija S ′ (R d ) i test-prostor brzoopadajućih funkcija S(R d ), čiju bazučine upravo ermitske funkcije. Drugu klasu čine prostori Zemaniana A iA ′ kao i njemu srodni prostori exp A i exp A ′ . Za detaljne dokaze teoremavezanih za prostore Zemaniana, zainteresovanog čitaoca upućujemo na knjigu[52], rad [45] ili monografiju [30].
2 Uvod1.1.1 Nuklearni Hilbertovi prostoriDefinicija 1.1.1 Neka je E vektorski prostor, {E α } α∈Λ familija lokalno konveksnihprostora i {h α } α∈Λ familija linearnih preslikavanja takvih da h α :E → E α i ⋂ α∈Λ h−1 α (0) = 0. Najgrublja topologija na prostoru E u odnosuna koju su sva preslikavanja h α neprekidna, naziva se projektivna topologija.Prostor E sa projektivnom topologijom je lokalno konveksan prostor.Uslov ⋂ α∈Λ h−1 α (0) = 0 znači da je prostor E Hausdorffov.Definicija 1.1.2 Neka je E vektorski prostor, {E α } α∈Λ familija lokalno konveksnihprostora i {g α } α∈Λ familija linearnih preslikavanja takvih da g α :E α → E i ⋃ α∈Λ g α(E α ) = E. Najfinija lokalno konveksna topologija naprostoru E u odnosu na koju su sva preslikavanja g α neprekidna, naziva seinduktivna topologija.U daljem radu ćemo se ograničiti na razmatranje lokalno konveksnih prostorakoji se mogu konstruisati kao presek odgovarajuće familije Hilbertovihprostora.Definicija 1.1.3 Neka je V realan vektorski prostor sa datim nizom skalarnihproizvoda (·|·) n , n ∈ N koji indukuju norme | · | n , redom. Kažemo da je ovafamilija skalarnih proizvoda kompatibilna ako za svako n, m ∈ N, za svakiniz {x k } u V koji po | · | n teži nuli i Cauchyjev je po | · | m , teži nuli i po | · | m .Definicija 1.1.4 Neka su V i W separabilni Hilbertovi prostori. OperatorA : V → W je operator Hilbert-Schmidt tipa (ili skraćeno HS-tipa), akopostoje ortonormirane baze {e n } u prostoru V i {f n } u prostoru W , i akopostoji niz brojeva λ n > 0 sa osobinom ∑ n∈N λ2 n < ∞ tako da jeA(x) = ∑ n∈Nλ n (e n |x)f n . (1.1)Teorema 1.1.1 Operator A je HS-tipa ako i samo ako za svaku ortonormiranubazu {e n } u prostoru V važi∑|A(e n )| 2 < ∞. (1.2)n∈NKorenom leve strane prethodnog izraza definisana je Hilbert-Schmidtova normaoperatora A, u oznaci ‖A‖ HS .
1.1 Osnovi funkcionalne analize 3Definicija 1.1.5 Operator A : V → W je nuklearan, ako postoje ortonormiranebaze {e n } u prostoru V i {f n } u prostoru W , i ako postoji niz brojevaλ n > 0 sa osobinom ∑ n∈N λ n < ∞ tako da jeA(x) = ∑ n∈Nλ n (e n |x)f n . (1.3)Poznato je da je svako HS-preslikavanje granična vrednost (po HS-normi)nekih preslikavanja sa konačnodimenzionalnim kodomenom. Svako nuklearnopreslikavanje je kompaktno (preslikava ograničen skup u relativno kompaktanskup) i svaki nuklearan operator je HS-tipa. Proizvod dva preslikavanjaHS-tipa je nuklearno, a svako nuklearno preslikavanje se može predstaviti kaoproizvod dva HS-preslikavanja.Definicija 1.1.6 Neka je E 0 separabilan Hilbertov prostor sa skalarnim proizvodom(·|·) 0 i neka je (·|·) p prebrojiva familija skalarnih proizvoda. Kažemoda je prostor E 0 sa datom familijom skalarnih proizvoda prebrojiv Hilbertovprostor ako je kompletan u odnosu na metriku|x| =∞∑p=02 −p |x| p1 + |x| p.Teorema 1.1.2 Prostor E 0 iz prethodne definicije je kompletan (prebrojivoHilbertov) ako i samo ako su skalarni proizvodi kompatibilni.Bez ograničenja opštosti možemo pretpostaviti da su skalarni proizvodi urastućem poretku tj. niz odgovarajućih normi je rastući:| · | p ≤ | · | p+1 za sve p ∈ N 0 .Označimo sa E p kompletiranje prostora E 0 u odnosu na skalarni proizvod| · | p . Jasno, E p je separabilan Hilbertov prostor, i pri tome važiSpecijalno,. . . E p+1 ⊆ E p . . . ⊆ E 0E = projlim p→∞ E p = ⋂p∈N 0E p .Kompatibilnost niza skalarnih proizvoda ekvivalentna je sa kompletnošćuprostora E u projektivnoj topologiji. Kompletan i metrizabilan prostor (kaošto je E) nazivamo Frechètov.
4 UvodDefinicija 1.1.7 Dualni prostor vektorsko topološkog prostora V , u oznaciV ′ je prostor svih linearnih neprekidnih funkcioneli nad prostorom V .Dualno sparivanje elementa iz V ′ i elementa iz V označavamo sa 〈·, ·〉.Definicija 1.1.8 Najgrublja topologija na V ′ u odnosu na koju je, za fiksiranox ∈ V , svako preslikavanje V ′ → C dato sa L ↦→ 〈L, x〉, L ∈ V ′neprekidno naziva se slaba topologija.Ekvivalentno, slaba topologija ima bazu okolina nule datu familijom skupovaoblikaB(x 1 , . . . , x k ; ε) = {L ∈ V ′ : |〈L, x j 〉| < ε, j = 1, . . . , k}gde su x 1 , . . . , x k ∈ V , ε > 0, k ∈ N.U lokalno konveksnom prostoru E, kažemo da je skup A ograničen, akoza svaku okolinu nule N postoji c > 0 tako da je A ⊆ cN. Specijalno, ako jeprostor E prebrojiv Hilbertov, skup A je ograničen akko je sup x∈E |x| n < ∞za sve n ∈ N.Definicija 1.1.9 Na dualnom prostoru prebrojivo Hilbertovog prostora, E ′je jaka topologija definisana bazom okolina nule koju čini familija skupovaB(A; ε) = {L ∈ E ′ : sup x∈A |〈L, x〉| < ε}gde skup A prolazi familijom ograničenih skupova i ε > 0.Jasno, jaka topologija na E ′ je finija od slabe topologije. Inkluzije E n ′ ⊆E ′ su neprekidne i E n ′ je gust po jakoj topologiji u E ′ .Specijalno, u normiranom prostoru V , jaka topologija na V ′ je indukovananormom‖L‖ = sup |〈L, x〉|. (1.4)‖x‖≤1Teorema 1.1.3 Dual prebrojivog Hilbertovog prostora je kompletan u jakojtopologiji.Teorema 1.1.4 Prebrojiv Hilbertov prostor je refleksivan.Sa E −p označavamo dualni prostor od E p . Time dobijamo rastući lanacHilbertovih prostoraE 0 ⊆ E −1 ⊆ . . . E −p ⊆ E −(p+1) . . . ,pri čemu za svako p ∈ N 0 imamo neprekidne inkluzije oblika E p ⊆ E 0 ⊆ E −p .Označimo sa E ′ njihovu uniju E ′ = ⋃ p∈N 0E −p snabdevenu induktivnomtopologijom. Kako je E gust u svakom E p , dual od E je u algebarskomsmislu jednak sa E ′ i pri tome važi:
1.1 Osnovi funkcionalne analize 5Teorema(1.1.5 Induktivna topologija na E ′ je ekvivalentna jakoj topologiji⋂∞) ′nap∈N 0E p .Teorema 1.1.6 Preslikavanje f : X → E ′ je linearno i neprekidno ako isamo ako je za neko p ∈ N 0 preslikavanje f : X → E −p linearno i neprekidno.Definicija 1.1.10 Prebrojiv Hilbertov prostor E je nuklearan, ako važi daza svako p ∈ N postoji prirodan broj q ≥ p takav da je operator inkluzijeE q → E p nuklearan.U prethodnoj definiciji se može zahtevati i slabiji uslov da je operator inkluzijeHilbert-Schmidt tipa (pa će kompozicija dve takve inkluzije biti nuklearnogtipa). Ekvivalentno, inkluzija E q → E p je nuklearna ako postojibaza {e k } u prostoru E q tako da je∑|e k | 2 p < ∞.k∈NSchwartzovi prostori S i D su primeri nuklearnih prostora. Takod¯e iprostori klase A koji će kasnije biti uvedeni su nuklearni uz odgovarajućepretpostavke.Naredna teorema iskazuje da su nuklearni prostori i njihovi duali Monteloviprostori.Teorema 1.1.7 U nuklearnom prebrojivom Hilbertovom prostoru E važi:1. Skup je kompaktan u E ako i samo ako je zatvoren i ograničen.2. Skup je kompaktan u E ′ sa jakom topologijom ako i samo ako je zatvoreni ograničen.3. U prostoru E i u dualu E ′ su ekvivalentne slaba i jaka konvergencijanizova.Na primer, beskonačnodimenzionalni Banachov prostor nije nuklearan, jer suzatvorene lopte u njemu ograničene ali nisu kompaktne. Konačnodimenzionalniprostori su nuklearni.Dual nuklearnog prebrojivo Hilbertovog prostora je nuklearan vektorskotopološki prostor (familija normi koja definiše topologiju je neprebrojiva).Definicija 1.1.11 Neka je V nuklearan prostor i V ′ njegov dual. Ako postojiHilbertov prostor H takav da je V gust u H (u odnosu na normu prostoraH), tada se trojkaV ⊆ H ⊆ V ′naziva Gel’fandova trojka.
6 UvodOvde smo u stvari po Rieszovoj teoremi identifikovali dual H ′ sa samimprostorom H. Primetimo da je H gust u V ′ u odnosu na slabu topologijuprostora V ′ .U slučaju nuklearnih prostora imamo Gel’fandovu trojku oblikaE ⊆ E 0 ⊆ E ′ .1.1.2 Proizvod i direktna suma prostoraDefinicija 1.1.12 Neka je {(X j , τ j )}, j ∈ J familija lokalno konveksnihprostora. Kartezijski proizvod ovih prostora, u oznaci X = ∏ j∈J X j je skuppreslikavanjaX = {x : J → ⋃ j∈JX j |x(j) ∈ X j , j ∈ J}. (1.5)Koristimo konvenciju x j = x(j). Vektorska struktura na X je definisanapo komponentama: (λx) j = λx j , (x + y) j = x j + y j . Preslikavanje π j : X →X j dato sa π j (x) = x j nazivamo j-ta projekcija.Definicija 1.1.13 Topologija na kartezijskom proizvodu X je proizvod topologijaτ j ; baza ove topologije data je familijom skupova{ ⋂π −1 (O i )|O i ∈ τ i , K ⊆ J, |K| < ℵ 0 }. (1.6)i∈KProizvod topologija na X = ∏ j∈J X j je u stvari projektivna topologija tj.najgrublja topologija za koju su sve projekcije π j : X → X j neprekidne.Niz u X konvergira (respektivno Cauchyjev je) ako konvergira (respektivnoCauchyjev je) po komponentama. Specijalno, X je kompletan ako susve komponente X j kompletni prostori.Definicija 1.1.14 Neka je {(X j , τ j )}, j ∈ J familija lokalno konveksnihprostora. Algebarska direktna suma ovih prostora, u oznaci ∑ j∈J X j je skup{x ∈ ⋃ j∈JX j |x = ∑ j∈Kx j , x j ∈ X j , j ∈ K ⊆ J, |K| < ℵ 0 }. (1.7)Na algebarskoj direktnoj sumi prostora je data induktivna topologija tj. najfinijalokalno konveksna topologija u odnosu na koju su sva prirodna potapanjaX j → ∑ j∈J X j neprekidna.
1.1 Osnovi funkcionalne analize 7Familiju seminormi u ∑ j∈J X j čine p(x) = ∑ j p j(x j ), za x = ∑ j∈K x j(suma je konačna), a p j prolazi familijom seminormi koje definišu topologijuprostora X j .Posmatrajmo podprostor kartezijskog proizvoda ˜X j = {x ∈ X|x k =δ kj x j , k ∈ J} gde je δ kj Kroneckerov simbol. Jasno, X j i ˜X j su izomorfni,pa je algebarska direktna suma ∑ j∈J X j u stvari podprostor od kartezijskogproizvoda ∏ j∈J X j. Ovi prostori su jednaki ako i samo ako je J konačanskup indeksa; tada su i njihove topologije ekvivalentne.Teorema 1.1.8 Važigde je veza data sa( ∏ j∈JX j ) ′ = ∑ j∈J(X j ) ′ (1.8)〈(L j ), (x j )〉 = ∑ j∈J〈L j , x j 〉 (1.9)za (L j ) ∈ ∑ j∈J (X j) ′ , (x j ) ∈ ∏ j∈J X j.Teorema 1.1.9 Prebrojiva direktna suma nuklearnih prostora je nuklearanprostor.U specijalnom slučaju kada su prostori {X j } med¯usobno ortogonalniHilbertovi prostori, direktnu sumu označavamo sa ⊕ j∈J X j i nazivamo ortogonalnasuma prostora. Skalarni proizvod elemenata x, y ∈ ⊕ j∈J X j je datsa (x|y) = ∑ j∈J (x i|y i ) i , gde je (·|·) i skalarni proizvod u prostoru X i .1.1.3 Fockovi prostoriNeka su H 1 , H 2 Hilbertovi prostori sa skalarnim proizvodima (·|·) 1 i (·|·) 2 ,respektivno. Dualne prostore označavamo sa H ′ i, i = 1, 2 a dualno sparivanjesa 〈·, ·〉 i , i = 1, 2.Definicija 1.1.15 Neka su ϕ ∈ H 1 , ψ ∈ H 2 fiksirani elementi. Tenzorskiproizvod ϕ ⊗ ψ je bilinearna forma nad H ′ 1 × H ′ 2 data saza (f, g) ∈ H ′ 1 × H ′ 2.ϕ ⊗ ψ(f, g) = 〈f, ϕ〉 1 〈g, ψ〉 2 (1.10)Prostor H 1 ˜⊗H 2 , lineal tenzorskih proizvoda elemenata ϕ ∈ H 1 i ψ ∈ H 2 jepodprostor prostora bilinearnih formi nad H ′ 1 × H ′ 2. On je pre-Hilbertov saskalarnim proizvodom definisanim kaoza ϕ ⊗ ψ, ξ ⊗ η ∈ H 1 ˜⊗H 2 .(ϕ ⊗ ψ|ξ ⊗ η) ⊗ = (ϕ|ξ) 1 (ψ|η) 2 (1.11)
8 UvodDefinicija 1.1.16 Tenzorski proizvod Hilbertovih prostora, u oznaci H 1 ⊗H 2je kompletiranje prostora H 1 ˜⊗H 2 u odnosu na normu ‖ · ‖ ⊗ .Indukcijom se lako može definisati tenzorski proizvod konačno mnogo Hilbertovihprostora.Definicija 1.1.17 Za proizvoljno n ∈ N definišemo n-ti tenzorski stepenkompleksnog Hilbertovog prostora kaoF (n) (H) = H}⊗ ·{{· · ⊗ H}= H ⊗n (1.12)npri čemu usvajamo da je F (0) (H) = C.označavamo sa ‖ · ‖ F (H). (n)Odgovarajuću tenzorsku normuSpecijalno, ako je H separabilan, F (n) (H) se može definisati kao prostor n-multilinearnih formi F nad H sa konačnom Hilbert-Schmidtovom normom.Hilbert-Schmidtova norma elementa F ∈ F (n) (H) je data sa‖F ‖ 2 HS = ∑ k∈N n |F (e k1 , . . . , e kn )| 2 ,gde je {e k } potpun ortonormirani sistem prostora H. Važi da je‖F ‖ 2 HS = ‖F ‖ F (n) (H). (1.13)Definicija 1.1.18 Neka su ϕ 1 , . . . , ϕ n ∈ H. Simetrizacija tenzorskog proizvodaje data saϕ 1 ̂⊗ · · · ̂⊗ϕ n = 1 ∑ϕ π(1) ⊗ · · · ⊗ ϕ π(n) (1.14)n!π∈P erm(n)gde je P erm(n) grupa permutacija prvih n prirodnih brojeva.Definicija 1.1.19 Za proizvoljno n ∈ N definišemo n-ti simetrični tenzorskistepen kompleksnog Hilbertovog prostora HΓ (n) (H) = H}̂⊗ ·{{· · ̂⊗H}= H ̂⊗nn(1.15)kao kompletiranje lineala simetričnih tenzorskih proizvoda elemenata iz H unormi ‖ · ‖ Γ (n) (H) indukovanoj skalarnim proizvodom(̂⊗ n i=1ϕ i |̂⊗ n i=1ψ i ) Γ (n) (H) =∑π∈P erm(n)(ϕ 1 |ψ π(1) ) · · · (ϕ n |ψ π(n) ). (1.16)
1.1 Osnovi funkcionalne analize 9Prostor Γ (n) (H) se nekad naziva i n-ti homogeni haos Hilbertovog prostoraH.Teorema 1.1.10 Prostor Γ (n) (H) je podprostor od F (n) (H) i važi veza izmed¯unjihovih normi‖ · ‖ Γ (n) (H) = √ n!‖ · ‖ F (n) (H). (1.17)1. Fockov prostor nad Hilbertovim prostorom H je defi-∞⊕F(H) = F (n) (H). (1.18)Definicija 1.1.20nisan san=02. Simetrični Fockov prostor nad Hilbertovim prostorom H je definisan saΓ(H) =∞⊕Γ (n) (H). (1.19)n=0Teorema 1.1.11 Dual Fockovog prostora nad H je jednak Fockovom prostorunad dualom od H tj.Ortonormirana baza Fockovog prostora(Γ(H)) ′ = Γ(H ′ ) (1.20)Pretpostavimo da je H separabilan i da je familija vektora {e k : k ∈ N}potpun ortonormiran sistem ovog prostora. Tada je familija n-torki {e k :k ∈ N n } oblika e k = ⊗ n i=1e ki , k = (k 1 , . . . , k n ) potpun ortonormiran sistemprostora F (n) (H).Potpun ortonormiran sistem Fockovog prostora F(H) čini familija nizovaoblika (0, 0, . . . , e k , . . .), k ∈ N n , n ∈ N u kojima se vektor e k nalazi na (n+1)-om mestu u nizu.Označimo sa I n ⊆ N n rastući ured¯en skup n-torki, a za proizvoljno α ∈ I nneka n i (α) označava broj komponenti jednakih sa ”i” u n-torci α. Definišimon(α)! = ∏ ∞i=1 n i(α)! (proizvod je uvek konačan) i neka je e α = ̂⊗ n i=1e αi . Tadafamilija n-torki {e α , α ∈ I n } čini potpun ortogonalan sistem prostora Γ (n) (H).Potpun ortonormiran sistem simetričnog Fockovog prostora Γ(H) činifamilija nizova oblika1√n(α)!(0, 0, . . . , e α , . . .), α ∈ I n , n ∈ N u kojima sevektor e α nalazi na (n + 1)-om mestu u nizu.Definicija 1.1.21 Sa Γ ✠ (H) označavamo podprostor simetričnog Fockovogprostora Γ(H) koji čine nizovi sa konačno mnogo elemenata različitih od nule.
10 UvodSkup Γ ✠ (H) je gust u Fockovom prostoru Γ(H). Proizvoljan element F ∈Γ ✠ (H) može se prikazati u obliku F = ∑ mn=0 F (n) gde su F (n) ∈ Γ (n) (H)elementi n-tog homogenog haosa, pa se i oni mogu predstaviti kao F (n) =∑α∈I nF α(n) e α , F α(n) ∈ C. Dakle,F =m∑ ∑α e α .F (n)n=0 α∈I nDefinicija 1.1.22 Neka su dati F (n) = ∑ α∈I nF α(n) e α ∈ Γ (n) (H) iG (m) = ∑ β∈I mG (m)βe β ∈ Γ (m) (H), za F α(n) , G (m)β∈ C. Njihov tenzorskiproizvod je elemenat Fockovog prostora Γ (n+m) (H) definisan saTeorema 1.1.12 VažiF (n) ̂⊗G (m) = ∑ α∈I nF (n) ̂⊗F (m) =∑γ∈I n+m∑F α(n)β∈I mn!m!(n + m)!G (m)∑α+β=γβe α ̂⊗e β . (1.21)F α(n) G (m)βe γ . (1.22)Sada možemo proširiti pojam tenzorskog proizvoda i na elemente Fockovogprostora Γ ✠ (H):Definicija 1.1.23 Neka su dati F, G ∈ Γ ✠ (H). Njihov tenzorski proizvod jeelemenat prostora Γ ✠ (H) dat preko (konačnog) nizačija je n-ta komponenta data saF ̂⊗G = {(F ̂⊗G) (n) ; n ∈ N 0 } (1.23)(F ̂⊗G) (n) =n∑F (n−m) ̂⊗G (m) . (1.24)m=0Važi da je F ̂⊗G = Ĝ⊗F , odnosno (Γ ✠ (H), ̂⊗) je komutativna algebra.Operatori anihilacije i kreacijeDefinicija 1.1.24 Neka je F (n) ∈ Γ (n) (H) oblika F (n) = ̂⊗ n i=1f i , gde suf 1 , . . . , f n ∈ H. Operator anihilacije datog vektora f ∈ H, je operator ∂(f) :Γ (n) (H) → Γ (n−1) (H) definisan sa∂(f)F (n) =n∑(f|f j )̂⊗ n i=1, f i (1.25)i≠jj=1
1.1 Osnovi funkcionalne analize 11Teorema 1.1.13 Norma operatora anihilacije je data sa ‖∂(f)‖ = √ n‖f‖ H .Definiciju operatora anihilacije lako možemo proširiti i na Fockov prostorkonačnih nizova Γ ✠ (H). Kako je Γ ✠ (H) gust podprostor od Γ(H), slediegzistencija adjungovanog operatora sa domenom Γ(H).Definicija 1.1.25 Adjungovani operator operatora anihilacije označavamosa ∂ ∗ (f) i nazivamo operator kreacije.Teorema 1.1.14 Za proizvoljan element F (n) ∈ Γ (n) (H) operator kreacijeima osobinu∂ ∗ (f)F (n) = f ̂⊗F (n) (1.26)i pri tome ∂ ∗ (f)F (n) ∈ Γ (n+1) (H).Za proizvoljna dva operatora A, B sa [A, B] označavamo tzv.definisan kao [A, B] = AB − BA.komutatorTeorema 1.1.15 Za operatore anihilacije i kreacije važe osobine kanoničkekomutacije:1. [∂ ∗ (f), ∂ ∗ (g)] = [∂(f), ∂(g)] = 0.2. [∂(f), ∂ ∗ (g)] = (f|g).Teorema 1.1.16 Operator anihilacije ∂(f) je derivacija na algebri (Γ ✠ (H), ̂⊗)tj. važi praviloOperator druge kvantizacije∂(f)(F ̂⊗G) = ∂(f)F ̂⊗G + F ̂⊗∂(f)G. (1.27)U ovom delu opisujemo kako se od operatora A sa Hilbertovog prostoraH može konstruisati tzv. operator druge kvantizacije Γ(A) nad Fockovimprostorom Γ(H).Neka je D gust skup u separabilnom Hilbertovom prostoru H. Označimosa D ˜⊗n skup konačnih linearnih kombinacija elemenata oblika h 1 ⊗ · · · ⊗ h n ,gde su h 1 , . . . , h n ∈ H. Tada je za svako n ∈ N skup D ˜⊗n gust u prostoruH ⊗n = F (n) (H). Označimo sa F ✠ (D) skup nizova koji na (n+1)-oj koordinatiimaju element iz D ˜⊗n i najviše konačno mnogo elemenata različitih od nule.Tada je skup F ✠ (D) gust u Fockovom prostoru F(H).Analognom konstrukcijom za simetrični tenzorski proizvod, dobijamo skupoveD ˜̂⊗n (skup konačnih linearnih kombinacija elemenata oblika h 1 ̂⊗ · · · ̂⊗h n )i skup Γ ✠ (D) koji je gust u simetričnom Fockovom prostoru Γ(H).
12 UvodNeka su H 1 , H 2 Hilbertovi prostori, A 1 , A 2 gusto definisani zatvoreni operatorina H 1 , H 2 respektivno sa domenima Dom(A 1 ), Dom(A 2 ). Njihove konjugovaneoperatore označavamo sa A ′ 1, A ′ 2, pri čemu Dom(A ′ i) ⊆ H ′ i, i = 1, 2i važi da je Dom(A ′ 1) ˜⊗Dom(A ′ 2) gust u H ′ 1 ⊗ H ′ 2 = (H 1 ⊗ H 2 ) ′ .Definicija 1.1.26 Tenzorski proizvod konjugovanih operatora je definisansa(A ′ 1 ˜⊗A ′ 2)h 1 ⊗ h 2 = A ′ 1h 1 ⊗ A ′ 2h 2 (1.28)za proizvoljne elemente h i ∈ Dom(A ′ i), i = 1, 2 i on se može po linearnostiproširiti na Dom(A ′ 1) ˜⊗Dom(A ′ 2).Definicija 1.1.27 Operator A ′ ˜⊗A 1 ′ 2 je gusto definisan nad (H 1 ⊗ H 2 ) ′ i imajedinstveni zatvoreni konjugovani operator, koji označavamo sa A 1 ⊗ A 2 inazivamo tenzorski proizvod operatora.Važi da je Dom(A 1 ) ˜⊗Dom(A 2 ) ⊆ Dom(A 1 ⊗A 2 ), pa je A 1 ⊗A 2 takod¯e gustodefinisan.Indukcijom se lako proširuje definicija tenzorskog proizvoda konačno mnogooperatora i njima konjugovanih operatora.Definicija 1.1.28 Za proizvoljan zatvoren operator A Hilbertovog prostoraH definišemo n-ti tenzorski stepen operatora kaoA ⊗n = A ⊗ · · · ⊗ A} {{ }n(1.29)na prostoru H ⊗n .Svaki Hilbertov prostor H po Rieszovoj teoremi možemo identifikovati sanjegovim dualom H ′ , pa u tom smislu se mogu identifikovati i konjugovanii adjungovani operator. Tačnije, ako su H i , i = 1, 2 Hilbertovi prostori, J iizomorfizmi izmed¯u H i i H i, ′ operator A : H 1 → H 2 , njemu adjungovanioperator A ∗ : H 2 → H 1 i konjugovani operator A ′ : H 2 ′ → H 1, ′ tada važi vezaA ∗ = J1 −1 A ′ J 2 . U tom smislu ćemo konjugovani operator nekada i nazivatiadjungovanim operatorom.Teorema 1.1.17 Ako je operator A samoadjungovan, onda je i A ⊗n samoadjungovan.Sada konstruišemo operator na Fockovom prostoru, polazeći od operatora Ana H.
1.1 Osnovi funkcionalne analize 13Definicija 1.1.29 Operator Γ ✠ (A ′ ) je definisan nad skupom Γ ✠ (Dom(A ′ ))koji je gust u prostoru Γ(H ′ ) kao linearna ekstenzija operatora čija je restrikcijadata saΓ ✠ (A ′ ) ↾ Dom(A ′ ) ˜⊗ n = A′ } ˜⊗ ·{{· · ˜⊗A}′ . (1.30)nDefinicija 1.1.30 Operator druge kvantizacije na Fockovom prostoru Γ(H),u oznaci Γ(A), je konjugovani operator od Γ ✠ (A ′ ).Teorema 1.1.18 Operator Γ(A) se na odgovarajućem podskupu od H ̂⊗n poklapasa A ⊗n , odnosnoΓ(A) ↾ Dom(A) ˜̂⊗ n = A⊗n . (1.31)Teorema 1.1.19 Ako je A samoadjungovan operator, onda je i Γ(A) samoadjungovan.1.1.4 Pettisov integralU ovom delu dajemo kratak opis Pettisovog integrala: neka su (M, B, m)σ-konačan merljiv prostor i (V, ‖ · ‖) Banachov prostor. Neka je preslikavanjef : M → V slabo merljivo, odnosno za svako F ∈ V ′ funkcija 〈F, f(·)〉je merljiva. Pretpostavimo da je pri tome i 〈F, f(·)〉 ∈ L 1 (M). OperatorT : V ′ → L 1 (M) definisan sa T (F ) = 〈F, f(·)〉 je zatvoren. Po teoremi ozatvorenom grafiku T je ograničen operator. Tada je za proizvoljno A ∈ Blinearna funkcionela F ↦→ ∫ 〈F, f(u)〉dm(u) neprekidna na V ′ , pa postojiAjedinstven element J A ∈ V ′′ takav da je J A (F ) = ∫ 〈F, f(u)〉dm(u). OvajAelement J A označavamo sa ∫ f(u)dm(u).ADefinicija 1.1.31 Slabo merljivo preslikavanje f : M → V je Pettis-integrabilno,ako važe uslovi:1. Za svako F ∈ V ′ je 〈F, f(·)〉 ∈ L 1 (M).2. Za svako A ∈ B postoji jedinstven element J A ∈ V takav da je∫〈F, J A 〉 = 〈F, f(u)〉dm(u), za sve F ∈ V ′ .AElement J A označavamo sa (P ) ∫ f(u)dm(u) i nazivamo Pettisov integralfunkcijeAf.Ako je prostor V refleksivan tj. V ′′ = V , tada je drugi uslov iz prethodnedefinicije uvek zadovoljen.
14 Uvod1.1.5 Hermiteovi polinomi i funkcijeDefinicija 1.1.32 Hermiteov polinom (ermitski polinom) n-tog reda, n ∈N 0 je definisan sah n (x) = (−1) n e x2 d n x22 (e− 2dxn ). (1.32)Prvih nekoliko ermitskih polinoma su: h 0 (x) = 1, h 1 (x) = x,h 2 (x) = x 2 − 1, h 3 (x) = x 3 − 3x, h 4 (x) = x 4 − 6x 2 + 3 . . . itd.Teorema 1.1.20 Hermiteovi polionomi zadovoljavaju rekurentne veze:1. h n+1 (x) − xh n (x) + nh n−1 (x) = 0,2. h ′ n(x) = nh n−1 (x),3. h ′′ n(x) − xh ′ n(x) + nh n (x) = 0.Teorema 1.1.21 Familija { 1 √n!h n (x) : n ∈ N 0 } čini ortonormiranu bazuprostora L 2 (R, dµ), gde je dµ = 1 √2πe − x22 Gaussova mera.Teorema 1.1.22 Generativna funkcija Hermiteovih polinoma jee tx− 1 2 t2 =∞∑n=0t nn! h n(x). (1.33)Teorema 1.1.23 Svaki polinom nad poljem realnih brojeva se može prikazatipreko ermitskih polinoma i obratno, preko identiteta:x n =[n/2]∑k=0( n2k)(2k − 1)!!h n−2k (x), (1.34)[n/2]∑( ) nh n (x) = (−1) k (2k − 1)!!x n−2k . (1.35)2kk=0Teorema 1.1.24 Hermiteovi polinomi zadovoljavaju identitete:1. h n (x + y) = ∑ nk=0( nk)hn−k (x)y k ,2. h n (ax) = ∑ [n/2]k=0 (−1)k( n2k)(2k − 1)!!a n−2k (1 − a 2 ) k h n−2k (x),3.1 √2π∫ ∞−∞ h n(x + y)e − x22 dx = y n ,
1.1 Osnovi funkcionalne analize 154.1 √2π∫ ∞−∞ (ix + y)n e − x22 dx = h n (x),5. h n (x)h m (x) = ∑ min{n,m}k=0k! ( nk)( mk)hn+m−2k (x).Definicija 1.1.33 Hermiteova funkcija (ermitska funkcija) n + 1-tog reda,n ∈ N 0 je definisana saξ n+1 (x) =1x2√ e− 24√ hn ( √ 2x). (1.36)π 2n n!Prvih nekoliko ermitskih funkcija su ξ 1 (x) = 1 4√ πe − x22 , ξ 2 (x) = √ 2x4√ πe − x22 ,ξ 3 (x) = √ 2x2 √ −1 x22 4 e−π√3 4 √ π2 , ξ 4 (x) = 2x3 −3xe−x22 , . . . itd.Teorema 1.1.25 Hermiteove funkcije zadovoljavaju identitete:1. (− d2 + x 2 + 1)ξdx 2 n = (2n)ξ n ,2. ξ ′ n(x) = √ n2 ξ n−1(x) −3. xξ n (x) = √ n2 ξ n−1(x) +√n+14. sup x∈R |ξ n (x)| = O(n − 112 ).ξ 2 n+1(x),√n+1ξ 2 n+1(x),Teorema 1.1.26 Hermiteove funkcije čine ortonormiranu bazu prostora L 2 (R).Definicija 1.1.34 Neka je α = (α 1 , α 2 , . . . , α d ) ∈ N d 0 proizvoljna d-torka.Definišimoξ α = ξ α1 ⊗ ξ α2 ⊗ · · · ⊗ ξ αd . (1.37)Multiindekse α možemo leksikografski pored¯ati u rastući niz. Označimosa α (j) j-ti po redu multiindeks. To znači da za i < j važi α (i)1 + · · · + α (i)d≤α (j)1 + · · · + α (j)d. Na taj način možemo i familiju vektora ξ α prenumerisati uprebrojivu familiju. Stavimo:η j = ξ α (j), j ∈ N. (1.38)Teorema 1.1.27 Familija funkcija {η jprostora L 2 (R d ).: j ∈ N} čini ortonormiranu bazuErmitske funkcije {ξ j : j ∈ N} resp. familija funkcija {η j : j ∈ N},pripadaju tzv. Schwartzovom prostoru brzoopadajućih funkcija S(R) resp.S(R d ). Schwartzovi prostori su opisani u narednom poglavlju.
16 Uvod1.1.6 Schwartzov prostor S(R d )Koristimo oznake: α = (α 1 , . . . , α d ) ∈ N d 0 za multiindekse, D α = ∂ α 11 · · · ∂ α ddza izvod i x α = x α 11 · · · x α ddza stepenovanje elementa x = (x 1 , . . . , x d ) ∈ R d .Dužina multiindeksa α se definiše kao |α| = α 1 + α 2 + · · · + α d .Definicija 1.1.35 Schwartzov prostor brzo opadajućih funkcija je prostorS(R d ) = {f ∈ C ∞ (R d ) : ∀α, β ∈ N d 0, ‖f‖ α,β < ∞}gde je seminorma ‖ · ‖ α,β definisana sa‖f‖ α,β = supx∈R d |x α D β f(x)|, α, β ∈ N d 0. (1.39)Topologija na S(R d ) je data familijom seminormi ‖ · ‖ α,β .Teorema 1.1.28 Prostor S(R d ) je nuklearan prebrojiv Hilbertov.Definicija 1.1.36 Schwartzov prostor sporo rastućih (temperiranih) distribucijaje dualni prostor S ′ (R d ).Ekvivalentna konstrukcija topologije prostora S(R d ) se može dobiti pomoćusamoadjungovanog operatoraA = −△ + |x| 2 + 1gde je △ laplasijan. Posmatrajmo Hilbertov prostora L 2 (R d ) sa standardnomL 2 (R d )-normom koju ćemo iz tehničkih razloga označiti sa | · | 0 . Operator Aje gusto definisan u L 2 (R d ), tačnije njegov domen sadrži S(R d ).Teorema 1.1.29 Operator A je samoadjungovan. Hermiteove funkcije {η n }koje čine ortonormiranu bazu prostora L 2 (R d ) su karakteristični vektori operatoraA, odnosnoAη n = λ n η ngde je {λ n = 2(n 1 + · · · + n d ) − d + 1 : (n 1 , . . . , n d ) ∈ N d 0} spektar operatoraA.Kako nula ne pripada spektru operatora A, sledi da postoji inverznioperator A −1 koji je ograničen, i njegova norma je data sa ‖A −1 ‖ = 1 λ 1.
1.1 Osnovi funkcionalne analize 17Definicija 1.1.37 Za proizvoljno p ∈ N definišimo normu |·| p na L 2 (R d ) sa|f| p = |A p f| 0 (1.40)Neka je S p (R d ) zatvaranje skupa {f ∈ C ∞ (R d ) : |f| p < ∞} u L 2 (R d ).Prostor S p (R d ) je Hilbertov sa skalarnim proizvodom (f|g) p = (A p f|A p g) 0 .Pri tome je za svako p ∈ N, S(R d ) gust u S p (R d ) i inkluzija S p+1 (R d ) ⊆ S p (R d )je Hilbert-Schmidt tipa.Teorema 1.1.30 Familija seminormi {| · | α,β : α, β ∈ N d 0} i familija normi{| · | p : p ∈ N} su ekvivalentne na S(R d ).Teorema 1.1.31 Projektivni limit prostora S p (R d ) je izomorfan sa S(R d ),odnosnoS(R d ) = ⋂ p∈NS p (R d ) = {f ∈ C ∞ (R d ) : ∀p ∈ N, |f| p < ∞}. (1.41)Definicija 1.1.38 Za proizvoljno p ∈ N definišimo normu | · | −p na S(R d )sa|f| −p = |A −p f| 0 (1.42)Neka je S −p (R d ) kompletiranje prostora S(R d ) sa normom | · | −p .Teorema 1.1.32 Norma |·| −p je ekvivalentna jakoj normi na dualnom prostoruS ′ p(R d ) definisanoj sa | · | −p = sup ψ∈S(R d ),|ψ| p≤1 |〈·, ψ〉|. Prostor S −p (R d )je izomorfan sa dualnim prostorom S ′ p(R d ).Zapravo, ovaj izomorfizam izmed¯u prostora S −p (R d ) i S ′ p(R d ) je uspostavljenpreko operatora A p .Teorema 1.1.33 U skupovnom smislu imamo S ′ (R d ) = ⋃ p∈N S −p(R d ), i pritome je lokalno konveksni induktivni limit prostora S −p (R d ) izomorfan prostoruS ′ (R d ) sa jakom topologijom.Dakle, prostori S(R d ) ⊆ L 2 (R d ) ⊆ S ′ (R d ) čine Gel’fandovu trojku. Štavišeimamo neprekidne inkluzijeS(R d ) ⊆ S p (R d ) ⊆ L 2 (R d ) ⊆ S ′ p(R d ) ⊆ S ′ (R d ).Teorema 1.1.34 Za svako p ∈ N operator A −p je Hilbert-Schmidt tipa naL 2 (R d ), pri čemu je∞∑‖A −p ‖ 2 HS = λ −2pn . (1.43)n=1
18 UvodTeorema 1.1.35 Vektori {λ −pn η n } čine ortonormiranu bazu prostora S p (R d ).Norma |f| p = |A p f| 0 se ekvivalentno može zapisati kao|f| 2 p = (A p |A p ) 0 =gde je (·|·) 0 skalarni proizvod u L 2 (R d ).∞∑n=1λ 2pn (f|η n ) 2 0 (1.44)Poznata je karakterizacija Schwartzovih prostora preko ermitskih funkcija(slučaj d = 1):Teorema 1.1.36 Funkcija f pripada prostoru S(R) ako i samo ako je oblikaf = ∑ k∈N a kξ k , gde ∑ k∈N kp |a k | 2 < ∞ za svako p ∈ N i koeficijenti su datisa a k = 〈f, ξ k 〉 ∈ C.Teorema 1.1.37 Funkcija f pripada prostoru S ′ (R) ako i samo ako je oblikaf = ∑ k∈N a kξ k (red konvergira u S ′ ) , gde ∑ k∈N k−p |a k | 2 < ∞ za neko p ∈ Ni koeficijenti su dati sa a k = 〈f, ξ k 〉 ∈ C.Primer 1.1.1 Diracova delta distribucija ima razvoj√(−1) k4√ πδ(x) = ∑ n∈Nξ n (0)ξ n (x) = ξ 1 (x) + ∑ n∈N,n=2k+11.1.7 Prostori Zemaniana(2k − 1)!!ξ n (x).(2k)!!Neka je I otvoren interval u R i L 2 (I) skup kvadratno integrabilnih funkcijanad I sa Lebesgueovom merom. Prostor L 2 (I) je Hilbertov sa skalarnimproizvodom (f|g) = ∫ f(x)g(x)dx.INeka je R samoadjungovan linearan diferencijalni operator oblikaR = θ 0 D n 1θ 1 · · · D nν θ ν = ¯θ ν (−D) nν · · · (−D) n 2 ¯θ1 (−D) n 1 ¯θ0 (1.45)gde je D = d/dx, θ k su glatke kompleksne funkcije bez nula u intervalu I, an k su prirodni brojevi k = 1, 2, . . . , ν. Pretpostavimo da postoje niz realnihbrojeva {λ n : n ∈ N} i niz glatkih funkcija {ψ n : n ∈ N} u L 2 (I) koji sukarakteristični koreni resp. karakteristični vektori operatora RRψ n = λ n ψ n , n ∈ N. (1.46)Bez ograničenja opštosti možemo pretpostaviti da je niz apsolutnih vrednostikarakterističnih korena u rastućem poretku. Dakle,|λ 1 | ≤ |λ 2 | ≤ |λ 3 | ≤ · · · → ∞.
1.1 Osnovi funkcionalne analize 19Pretpostavimo da funkcije {ψ n : n ∈ N} čine potpun ortonormiran sistem uL 2 (I) tj. da se svaka funkcija f ∈ L 2 (I) može razviti u redf = ∑ ∞n=1 (f|ψ n)ψ n koji konvergira u L 2 (I).Induktivno definišemoR k+1 = R(R k ), k ∈ NR 0 = I (identični operator).Važi:(R k f|ψ n ) = ∫ I Rk f(x)ψ n (x)dx = ∫ I f(x)Rk ψ n (x)dx = (f|R k ψ n ) = λ k n(f|ψ n ),za proizvoljne k ∈ N 0 , f ∈ C ∞ (I) ∩ L 2 (I).Prostori A, A ′Nadalje ćemo pretposatviti da se nula ne nalazi med¯u karakterističnimkorenima operatora R (ako je neko λ n = 0, njega zamenimo sa ˜λ n = 1).Definicija 1.1.39 Zemanianov prostor test funkcija je definisan sa(∫1/2A = {f ∈ C ∞ (I) : p k (f) = |R k f(x)| dx) 2 < ∞}. (1.47)ITopologija na A je definisana nizom seminormi {p k : k ∈ N 0 }. Dualni prostorA ′ je Zemanianov prostor uopštenih funkcija.StavimoA k = {f ∈ L 2 (I) : f =∞∑a n ψ n ,n=1∞∑|a n | 2˜λn 2k< ∞}. (1.48)Za proizvoljno k ∈ N 0 prostor A k je Hilbertov snabdeven skalarnim proizvodom∞∑ 2k(f|g) k = a n¯bn˜λn (1.49)n=1gde su f = ∑ ∞n=1 a nψ n i g = ∑ ∞n=1 b nψ n elementi prostora A k . Normuindukovanu ovim skalarnim proizvodom označavamo sa ‖ · ‖ k .Dualni prostor A ′ k je izometričan sa A −k. Dakle, imamo niz linearnihneprekidnih inkluzijan=1· · · ⊆ A k+1 ⊆ A k ⊆ · · · A 0 = L 2 (I) ⊆ A −1 ⊆ A −2 ⊆ · · ·Lako se pokazuje da je skup S ⊆ A definisan sam∑S = {f ∈ L 2 (I) : f = a n ψ n , a n ∈ C, m ∈ N 0 } (1.50)n=1
20 Uvodgust u svakom A k , k ∈ N 0 , kao i u Zemanianovom prostoru A. Važi(u skupovnom smislu):{A = ⋂ k∈N A k =A ′ = ⋃ k∈N A −k =f ∈ L 2 (I) : f = ∑ ∞n=1 a nψ n , ∀k, ∑ }∞n=1 |a n| 2˜λn 2k< ∞{f ∈ L 2 (I) : f = ∑ ∞n=1 b nψ n , ∃k, ∑ }∞n=1 |b n| 2˜λn −2k< ∞(1.51)(red konvergira u slaboj topologiji A ′ ). Više od toga: projektivna topologijana A se poklapa sa topologijom datoj u definiciji 1.1.39, i induktivna topologijau A ′ ekvivalentna je jakoj topologiji.Dakle prostor Zemaniana A je prebrojiv Hilbertov. Ortonormiranu bazuprostora A k čini familija funkcija {λ −knako za neko c ∈ N 0 važi∑ −c˜λ n < ∞.n∈Nψ n : n ∈ N}. Prostor A je nuklearanU ovakvom formalnom zapisu sa redovima, dejstvo elementa f = ∑ ∞n=1 a nψ n ∈A ′ na test funkciju ϕ = ∑ ∞n=1 b nψ n je dato sa〈f, ϕ〉 =∞∑a n b n .Neka je S snabdeven normom ‖ · ‖ k . Preslikavanje R m : S → A k−m jelinearno i neprekidno za m ≤ k, pa se može proširiti na linearno neprekidnopreslikavanje sa domenom A k (ovo proširenje takod¯e označavamo sa R m ).Pri tome važi∞∑R m ϕ = a n λ m n ψ n (1.52)n=1za proizvoljno ϕ = ∑ ∞n=1 a nψ n ∈ A k . Dalje, možemo definisati R m : A −k →A −k−m sa〈R m f, ϕ〉 = 〈f, R m ϕ〉, ϕ ∈ A k+m (1.53)za proizvoljno f = ∑ ∞n=1 b nψ n ∈ A −k , m ≤ k. Formalno zapisujemo R m f =∑ ∞n=1 b nλ m n ψ n .n=1Teorema 1.1.38 Funkcija f = ∑ ∞n=1 b nψ n pripada prostoru A ′ ako i samoako postoje k ∈ N 0 , F ∈ L 2 (I) i n ∈ Λ takvi da jef = R k F + ∑ n∈Λb n ψ n (1.54)gde je Λ = {n ∈ N 0 : λ n = 0}.
1.1 Osnovi funkcionalne analize 21Primer 1.1.2 Specijalno za izbor R = − d2dx + x2 + 1 prostor Zemaniana A ′se svodi na prostor Schwartzovih temperiranih distribucija S ′ (R).Poznato je da se prostor Schwartzovih distribucija D ′ (I) i njegov testprostorD(I) odnose prema Zemanianovim prostorima na sledeći način:D(I) ⊆ A ⊆ L 2 (I) ⊆ A ′ ⊆ D ′ (I).Dakle, restrikcija proizvoljnog elementa f ∈ A ′ na D(I) je element prostoraD ′ (I). Jasno je i da za svako f ∈ L 2 (I) postoji jedinstven element ˜f ∈ A ′tako da važi∫〈 ˜f, ϕ〉 = f(x)ϕ(x)dx = (f|ϕ) L 2 (I), ϕ ∈ A.Prostori ExpA, ExpA ′IStavimo oznakuexp p x = exp(exp(· · · (exp x)) · · · )} {{ }pDefinicija 1.1.40 Prostor exp p A je dat saexp p A = {ϕ =∞∑a n ψ n : ∀k ∈ N 0 ,n=1∞∑|a n | 2 (exp p ˜λn ) 2k < ∞} (1.55)n=1(red konvergira u L 2 (I)), a njegov dualni prostor jeexp p A ′ = {f =∞∑b n ψ n : ∃k ∈ N 0 ,n1∞∑|b n | 2 (exp p ˜λn ) −2k < ∞} (1.56)n=1(red konvergira u slabom smislu).Prostori exp p A i exp p A ′induktivni limit prostorase mogu konstruisati i kao projektivni resp.exp p,k A = {ϕ =∞∑∞∑a n ψ n : |a n | 2 (exp p ˜λn ) 2k < ∞} (1.57)n=1 n=1snabdevenih normom ‖ϕ‖ p,k = ∑ ∞n=1 |a n| 2 (exp p ˜λn ) 2k , k ∈ Z. Neka su:exp p A = ⋂ kexp p,k A,exp p A ′ = ⋃ kexp p,−k A. (1.58)
1.2 Osnovi stohastičke analize 23Modeliranje raznovrsnih prirodnih fenomena u fizici, biologiji, tržišnihkretanja u ekonomiji ili čak i najjednostavnijih igara, neophodno sadrži faktorslučajnosti. Nazovimo to ”slučajnost”, ”sreća”, ”šum” ili jednostavno”nepoznati faktor”. Shvatimo verovatnoću kao meru slučajnosti, kao meruljudskog neznanja ili kao meru realizacije odred¯ene vrste budućnosti; matematičkipristup je potpuno isti.Danas je stohastička analiza jedna od najmodernijih oblasti matematike.Poseduje razvijen matematički aparat u radu sa stohastičkim diferencijalnimjednačinama koje modeliraju fenomene sa nepoznatim faktorima, a kojeshvatamo kao da su se slučajno desili.Ovo poglavlje predstavlja pregled osnovnih pojmova teorije verovatnoćekao što su slučajne promenljive, slučajni procesi, uslovno matematičko očekivanje,martingali itd. Poseban značaj imaju Gaussova raspodela, Brownovokretanje i Itôv integral koji čine osnovu teorije belog šuma.1.2.1 Aksiomatsko zasnivanje teorije verovatnoćeU aksiomatskom zasnivanju teorije verovatnoće se polazi od osnovnog pojmaelementarnog dogad¯aja ω koji se ne definiše eksplicitno, slično kao ni pojmovitačke, prave i ravni u geometriji. Nadalje će skup Ω uvek označavati skupelementarnih dogad¯aja.Definicija 1.2.1 Familija F podskupova od Ω je σ-algebra, ako Ω ∈ F, A ∈⋃F implicira Ω \ A ∈ F, i ako su A i ∈ F, i ∈ N, tada i ∞ A i ∈ F.Definicija 1.2.2 Neka je (Ω, F) merljiv prostor dogad¯aja. Skupovna funkcijaP : F → R naziva se verovatnosna mera ili kraće samo verovatnoća, akoima sledeće osobine: P (A) ≥ 0 za svaki dogad¯aj A ∈ F, P (Ω) = 1, i ako suA 1 , A 2 , A 3 . . . disjunktni dogad¯aji iz F, tada važi P ( ⋃ ∞n=1 A n) = ∑ ∞n=1 P (A n).Definicija 1.2.3 Ured¯ena trojka (Ω, F, P ) gde je Ω prostor elementarnih dogad¯aja,F data σ-algebra dogad¯aja na Ω i P verovatnosna mera na σ-algebriF, naziva se prostor verovatnoće.Definicija 1.2.4 Mera Q je apsolutno neprekidna u odnosu na meru P uprostoru (Ω, F), u oznaci Q ≪ P ako za svako A ∈ F važi da iz P (A) = 0sledi Q(A) = 0. Mere P i Q su ekvivalentne ako je Q ≪ P i P ≪ Q.Teorema 1.2.1 (Radon - Nikodỳm) Neka su P i Q dve mere na prostoru(Ω, F) takve da je Q apsolutno neprekidna u odnosu na meru P. Tada postojii=1
24 Uvodnenegativna merljiva funkcija f : Ω → R, takva da važi relacija∫Q(E) = fdP (1.63)za svako E ∈ F. Pri tome je funkcija f jedinstvena do na skup P -mere nula.Funkcija f iz prethodne teoreme se naziva Radon-Nikodỳmov izvod mereQ po meri P i označava se sa f = dQdPili dQ = fdP .Definicija 1.2.5 Posmatrajmo skup R n sa uobičajenom topologijom. Najmanjaσ-algebra koja sadrži sve otvorene skupove se naziva Borelova σ-algebra i označava se sa B(R n ). Elementi Borelove σ-algebre se nazivajuBorelovi skupovi.Sa R T označavamo familiju svih preslikavanja T → R gde je T podskupskupa realnih brojeva proizvoljne kardinalnosti.Definicija 1.2.6 Cilindrični skup u R T je skup oblikaCil t1 ,t 2 ,...,t n(B n ) =E= {x ∈ R T : (x(t 1 ), x(t 2 ), . . . , x(t n )) ∈ B n za neko B n ∈ B(R n )}, (1.64)za fiksirane t 1 , t 2 , . . . , t n ∈ T . Skup B n nazivamo osnova cilindra. Označimosa B(R T ) najmanju σ-algebru koju generiše familija svih cilindara.Familija cilindara čini algebru, pa se verovatnosna mera definisana nacilindrima proširuje na meru nad čitavom σ-algebrom. Ta konstrukcija ćebiti takva da će se verovatnosna mera na beskonačnodimenzionalnim prostorimadobiti produženjem mera sa konačnodimenzionalnih prostora kojezadovoljavaju tzv. uslov saglasnosti.Posmatrajmo neured¯enu n-torku indeksa τ = [t 1 , t 2 , . . . , t n ] gde su t i ∈ Ti neka je P τ mera na (R τ , B(R τ )) gde je R τ = R t1 ×R t2 × · · · × R tn .Definicija 1.2.7 Kažemo da je familija mera {P τ } saglasna (τ prolazikroz skup svih konačnih izbora neured¯enih n-torki iz T ) ako važi: zaproizvoljnu funkciju x : T → R, za svaka dva izbora τ = [t 1 , t 2 , . . . , t n ] iσ = [s 1 , s 2 , . . . , s k ] takva da je σ ⊂ τ i za proizvoljno B ∈ B(R σ ) važiP σ {(x(s 1 ), x(s 2 ), . . . , x(s k )) : (x(s 1 ), x(s 2 ), . . . , x(s k )) ∈ B} == P τ {(x(t 1 ), x(t 2 ), . . . , x(t n )) : (x(s 1 ), x(s 2 ), . . . , x(s k )) ∈ B}. (1.65)
1.2 Osnovi stohastičke analize 25Teorema 1.2.2 (Kolmogorov) Neka je {P τ } familija saglasnih verovatnosnihmera na (R τ , B(R τ )) . Tada postoji jedinstvena mera P na (R T , B(R T )takva da jeP {x ∈ R T : (x(t 1 ), x(t 2 ), . . . , x(t n )) ∈ B} = P [t1 ,t 2 ,...,t n](B) (1.66)za sve izbore τ = [t 1 , t 2 , . . . , t n ] ⊂ T i B ∈ B(R τ ).1.2.2 Slučajne promenljive i njihove karakteristikeDefinicija 1.2.8 Preslikavanje X : Ω → R n iz prostora verovatnoće (Ω, F, P )u merljiv prostor (R n , B(R n )) naziva se n-dimenzionalna slučajna promenljivaako inverzna slika svakog Borelovog skupa pripada σ-algebri F. Na merljivomprostoru (R n , B(R n )) uvodimo verovatnosnu meru P X definisanu relacijomP X (B) = P (X −1 (B)). (1.67)Za meru P X postoji jedinstvena funkcija raspodele F X : R n → R za koju važiF X (x) = P X ((−∞, x 1 ] × · · · × (−∞, x n ]) = P {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x}. (1.68)Funkciju F X nazivamo funkcija raspodele slučajne promenljive X.Dakle slučajna promenljiva X prenosi strukturu verovatnosnog prostora(Ω, F, P ) na prostor (R n , B(R n ), P X ) u kojem postoji razvijen aparat matematičkeanalize. Najčešće ćemo i identifikovati ova dva prostora.{ 1, ω ∈ ADefinicija 1.2.9 Slučajna promenljiva I A data sa I A (ω) =0, ω /∈ A zadogad¯aj A ∈ F naziva se indikator dogad¯aja A.Ako postoje disjunktno razbijanje sigurnog dogad¯aja Ω = A 1 ∪ A 2 ∪ . . . , inajviše prebrojiv skup {x 1 , x 2 , . . .} ⊂ R, tada slučajnu promenljivu oblikaX(ω) =∞∑x i I Ai (ω) (1.69)i=1nazivamo diskretna slučajna promenljiva.Definicija 1.2.10 Slučajna promenljiva je apsolutno neprekidnog tipa, akoje verovatnosna mera P X apsolutno neprekidna u odnosu na Lebesgueovumeru na R n . Radon-Nikodỳmov izvod mere P X po meri Lebesguea označavamosa ϕ(x) i nazivamo funkcija gustine slučajne promenljive X.
26 UvodDefinicija 1.2.11 Komponente slučajanog vektora X = (X 1 , X 2 , . . . , X n )su nezavisne, ako za svako k ≤ n, za svaki izbor indeksa (i 1 , . . . , i k ) i zaproizvoljne Borelove skupove B 1 , . . . , B k ∈ B(R) važik⋂k∏P ( {X ij ∈ B j }) = P {X ij ∈ B j }. (1.70)j=1Definicija 1.2.12 Slučajna promenljiva X je merljiva funkcija na prostoruverovatnoće (Ω, F, P ), pa možemo posmatrati i njen integral po meri P. Ovajintegral ćemo označavati sa E(X) i nazivaćemo ga matematičko očekivanjeslučajne promenljive X. Dakle,∫ ∫E(X) = XdP = XdF X . (1.71)ΩR nDefinicija 1.2.13 Neka je X = (X 1 , X 2 , . . . , X n ) n-dimenzionalna slučajnapromenljiva. Kovarijaciona matrica vektora X je matrica data sa B =[cov(X i , X j )] n×n , gde jej=1cov(X i , Y j ) = E(X i Y j ) − E(X i )E(Y j ).Teorema 1.2.3 Matrica B je kovarijaciona matrica nekog slučajnog vektoraakko je simetrična i pozitivno semidefinitna.Definicija 1.2.14 Karakteristična funkcija n-dimenzionalne slučajne promenljiveX je funkcija f : R n → C definisana relacijomf X (t 1 , t 2 , . . . , t n ) = E(e i(t|X) ) = E(e i ∑ nk=1 t kX k), (1.72)gde je t = (t 1 , t 2 , . . . , t n ), a (· | ·) je oznaka za standardni skalarni proizvodu R n .Karakteristična funkcija postoji za svaku slučajnu promenljivu i ona jejednoznačno odred¯uje. Karakteristična funkcija slučajne promenljive apsolutnoneprekidnog tipa je zapravo Fourierova transformacija funkcije gustine.Definicija 1.2.15 Označimo sa L 2 (Ω, F, P ) ili kraće samo sa L 2 (Ω) prostorslučajnih promenljivih za koje je E(X 2 ) < ∞. U prostoru L 2 (Ω) uvodimoskalarni proizvod kao(X | Y ) = E(XY ) (1.73)za proizvoljne X, Y ∈ L 2 (Ω).Norma indukovana ovim skalarnim proizvodom je oblika ||X|| = √ E(X 2 )i važi da je prostor L 2 (Ω) kompletan u odnosu na ovu normu. Konvergencijaslučajnih promenljivih u prostoru L 2 (Ω) je srednjekvadratna konvergencijaLdefinisana sa: X 2n → X, ako E |X n − X| 2 → 0, kad n → ∞. Prostor L 2 (Ω)je Hilbertov prostor.
1.2 Osnovi stohastičke analize 27Normalna raspodelaDefinicija 1.2.16 Slučajan vektor X = (X 1 , X 2 , . . . , X n ) ima n-dimenzionalnunormalnu (Gaussovu) raspodelu sa parametrima m i B, što označavamosa X : N(m, B), gde je m = (m 1 , m 2 , . . . , m n ) ∈ R n , i B je regularna,simetrična, pozitivno semidefinitna matrica, ako je njena funkcija gustinedata sa√det Aϕ(x 1 , x 2 , . . . , x n ) = e − 1(2π) n 2 (x−m)T A(x−m)(1.74)2za x = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) ∈ R n , i A je inverzna matrica za B.Teorema 1.2.4 Neka je X = (X 1 , X 2 , . . . , X n ) slučajan vektor sa normalnomX : N(m, B) raspodelom. Tada važi:1. Parametar m je vektor matematičkih očekivanja komponenti slučajnogvektora X tj.E(X k ) = m k , k = 1, 2, . . . , n ,gde je m = (m 1 , m 2 , . . . , m n ).2. Matrica B je kovarijaciona matrica slučajnog vektora X.Teorema 1.2.5 Neka je X slučajna promenljiva sa n-dimenzionalnom normalnomraspodelom X : N(m, B). Tada je karakteristična funkcija slučajnogvektora X data saf(t 1 , t 2 , . . . , t n ) = e i(t|m)− 1 2 tT Bt , (1.75)gde je t = (t 1 , t 2 , . . . , t n ).Teorema 1.2.6 Neka je X = (X 1 , X 2 , . . . , X n ) proizvoljan slučajan vektor.1. Ako X ima n-dimenzionalnu normalnu raspodelu X : N(m, B), tada zaproizvoljne λ 1 , λ 2 , . . . , λ n ∈ R takve da postoji bar jedno λ i ≠ 0, važi daslučajna promenljivak=1n ∑k=1λ k X k ima normalnu raspodelun∑n∑λ k X k : N( λ k m k ; λ T Bλ). (1.76)k=1∑2. Ako za sve λ 1 , λ 2 , . . . , λ n ∈ R važi da linearna kombinacija n λ k X kima normalnu raspodelu, tada slučajan vektor X ima n-dimenzionalnunormalnu raspodelu.k=1
28 UvodPosmatrajmo L 2 (Ω) prostor slučajnih promenljivih sa konačnim drugimmomentom. Slučajne promenljive sa normalnom raspodelom pripadaju prostoruL 2 (Ω) jer imaju konačnu disperziju. Na osnovu prethodne teoreme sesvaki konačan podprostor L{X 1 , X 2 , . . . , X n } generisan slučajnim promenljivamasa normalnom raspodelom sastoji isključivo od slučajnih promenljivihsa normalnom raspodelom. Naredna teorema proširuje ovaj rezultat i nazatvorene beskonačnodimenzionalne podprostore L{X 1 , X 2 , . . .} generisaneslučajnim promenljivama sa normalnom raspodelom.Teorema 1.2.7 Neka je X 1 , X 2 , . . . niz slučajnih promenljivih sa normalnomraspodelom koji konvergira u srednjekvadratnom ka slučajnoj promenljivojX. Tada i slučajna promenljiva X ima normalnu raspodelu.Uslovno matematičko očekivanjeDefinicija 1.2.17 Neka je (Ω, F, P ) verovatnosni prostor, B ⊂ F proizvoljnaσ-podalgebra i X : Ω → R integrabilna slučajna promenljiva. Esencijalnojedinstvenu B-merljivu funkciju E(X | B) : Ω → R koja zadovoljava jednakost∫∫E(X | B)dP B = XdP (1.77)Bza svako B ∈ B, nazivamo uslovno matematičko očekivanje slučajne promenljiveX u odnosu na σ-algebru B.Neka je za A ∈ FP (A | B) = E(I A | B). (1.78)Tada se P (· | B) naziva uslovna verovatnoća na σ-algebri F u odnosu naσ-algebru B.U slučaju kada je σ-algebra B generisana nekom slučajnom promenljivomY , uslovno matematičko očekivanje označavamo sa E(X|Y ).Teorema 1.2.8 Uslovno matematičko očekivanje ima sledeće osobine:1. E(E(X | B)) = E(X).2. Ako je X merljiva u odnosu na B, tada E(X | B) s.s.= X.3. Ako je X ≥ 0, tada je i E(X | B) ≥ 0 s.s..4. Ako je X s.s.= c gde je c proizvoljna konstanta, tada je E(X | B) s.s.= c.5. Ako je B = {∅, Ω} trivijalna σ-algebra, tada E(X | B) s.s.= E(X).B
1.2 Osnovi stohastičke analize 29Teorema 1.2.9 Ako su X 1 i X 2 integrabilne slučajne promenljive i a 1 , a 2proizvoljne konstante, tada važiE(a 1 X 1 + a 2 X 2 | B) s.s.= a 1 E(X 1 | B) + a 2 E(X 2 | B). (1.79)tj. operator E(· | B) : L 1 (Ω) → L 1 (Ω) je linearan operator nad prostoromintegrabilnih slučajnih promenljivih.Teorema 1.2.10 (o dominantnoj konvergenciji) Neka je dat niz slučajnihs.s.promenljivih {X n } koji konvergira X n → X. Neka postoji Y ∈ L 1 (Ω) tako daje za svako n ∈ N |X n | ≤ Y s.s. Tada važiE(|X n − X| | B) s.s.→ 0. (1.80)Teorema 1.2.11 Neka su X n nenegativne slučajne promenljive za sve n ∈N. Tada∞∑∞∑E( X k | B) = E(X k | B) s.s. (1.81)k=1k=1Teorema 1.2.12 Neka su X, Y slučajne promenljive na (Ω, F, P ) takve dasu X i XY integrabilne. Ako je Y merljiva u odnosu na σ-algebru B, tadajeE(XY | B) = Y E(X | B) s.s. (1.82)1.2.3 Slučajni procesiDefinicija 1.2.18 Neka je T neprazan indeksni skup u R. Familija R d -vrednosnih slučajnih promenljivih {ω ↦→ X t (ω) : t ∈ T } definisanih nad istimprostorom verovatnoće (Ω, F, P ) je slučajan proces sa indeksnim skupom Ti prostorom stanja R d .Iz prethodne definicije direktno sledi da je proces {X t (ω) : t ∈ T } za svakofiksirano t 0 ∈ T slučajna promenljiva (merljivo prelikavanje nad prostoromverovatnoće).Definicija 1.2.19 Neka je {X t (ω) : t ∈ T } slučajan proces. Tada za svakofiksirano ω 0 ∈ Ω imamo preslikavanje X t (ω 0 ) : T → R d koje nazivamo trajektorijaslučajnog procesa.U daljem ćemo slično kao i kod slučajnih promenljivih, izostaviti oznakuω (koja se podrazumeva) i pisati samo X t .
30 UvodDefinicija 1.2.20 Konačnodimenzionalne raspodele slučajnog procesa{X t : t ∈ T } su date saF t1 ,...,t n(x 1 , . . . , x n ) = P {(X t1 , . . . , X tn ) ∈ (−∞, x 1 ]×· · ·×(−∞, x n ]},n ∈ Ngde su t i ∈ T, x i ∈ R d , i = 1, 2, . . .Teorema 1.2.13 Familija konačnodimenzionalnih raspodela na ((R d ) n , B((R d ) n ))zadovoljava sledeća dva uslova:1. uslov saglasnostiF t1 ,...,t m,t m+1 ,...,t n(x 1 , . . . , x m , ∞, . . . , ∞) = F t1 ,...,t m(x 1 , . . . , x m ) (1.83)za svako m < n i t 1 , . . . , t n ∈ T .2. uslov simetrijeF t1 ,...,t n(x 1 , . . . , x n ) = F tπ(1) ,...,t π(n)(x π(1) , . . . , x π(n) ) (1.84)za svako n ∈ N i svako π iz grupe permutacija brojeva {1, 2, . . . , n}.Teorema 1.2.14 (Kolmogorov) Za svaku familiju funkcija raspodele kojazadovoljava uslov saglasnosti i simetrije postoji prostor verovatnoće (Ω, F, P )i slučajan proces {X t : t ∈ T } definisan na njemu, čije su konačnodimenzionalneraspodele upravo one date.Prostor (Ω, F, P ) iz prethodne teoreme je prostor((R d ) T , B(R d ) T , P X ) u kojemje mera P X dobijena produženjem odgovarajućih konačnodimenzionalnihverovatnosnih mera. Mera P X se naziva raspodela verovatnoća procesa X t .Dakle, svaki (klasičan) slučajan proces možemo posmatrati iz tri ekvivalentneperspektive: kao merljivo preslikavanje Ω → (R d ) T , kao preslikavanjeT → L 0 (Ω) ili kao zajedničko-merljivo preslikavanje T × Ω → R d . Koduopštenih slučajnih procesa imaćemo analogne koncepte koji nisu ekvivalentni,već definišu uopštene procese različitog tipa.Definicija 1.2.21 Slučajan proces X t je stacionaran ako za svako h > 0i svako t i , t i + h ∈ T, i ∈ N važiF t1 +h,...,t n+h(x 1 , . . . , x n ) = F t1 ,...,t n(x 1 , . . . , x n ). (1.85)Proces je stacionaran u širem smislu ako je E(X t ) = const i Cov(X t , X s ) =C(t − s), gde je C funkcija jedne promenljive.
1.2 Osnovi stohastičke analize 31Definicija 1.2.22 Slučajan proces X t je gausovski proces ako su sve njegovekonačnodimenzionalne raspodele normalne.Gausovski proces je potpuno okarakterisan svojim matematičkim očekivanjemm(t) = E(X t ) i kovarijansnom funkcijom E(X t X s ) − m(t)m(s).Definicija 1.2.23 Neka je (Ω, F, P ) prostor verovatnoće. Familija pod-σalgebri{F t } se naziva filter ako za svako s < t važi F s ⊆ F t .Definicija 1.2.24 Slučajan proces {X t : t ∈ T } je adaptiran filteru {F t }ako je za svako t ∈ T slučajna promenljiva X t (ω) F t -merljiva.Definicija 1.2.25 Slučajan proces {M t } je martingal u odnosu na filter{F t }, ako ima osobine:1. za svako t ∈ T je E(|M t |) < ∞2. za svako s ≤ t je E(M t |F s ) = M sAko se filter ne navodi eksplicitno, podrazumevamo da je F t σ-algebragenerisana familijom slučajnih promenljivih {X s : s ≤ t}.Definicija 1.2.26 Slučajan proces {X t } je markovski proces ako za svakot > s i svaki Borelov skup B iz R d važiskoro sigurno.P {X t ∈ B|F s } = P {X t ∈ B|X s } (1.86)Brownovo kretanjeDefinicija 1.2.27 Sučajan proces {B tkretanje (Wienerov proces) ako važi:: t ∈ [0, ∞)} se naziva Brownovo1. B 0 = 0 skoro sigurno.2. Priraštaji su nekorelirani.3. Za svako 0 < s < t priraštaj B t − B s ima normalnu N(0, (t − s)I)raspodelu, gde je I jedinična d × d matrica.
32 UvodNajčešće slučajan proces X t (ω) shvatamo kao poziciju (rezultat) u trenutkut ishoda nekog eksperimenta ω. Shodno tome i koncept Brownovog kretanjaB t (ω) interpretiramo kao položaj u prostoru R d polenske (Brownove) česticeω u trenutku t.Primetimo još da je gore definisano d-dimenzionalno Brownovo kretanjemožemo posmatrati kao B t = (B (1)t , . . . , B (d)tjednodimenzionalna nezavisna Brownova kretanja.), gde su B (i)t, i = 1, . . . , dTeorema 1.2.15 Brownovo kretanje je gausovski proces sa očekivanjemE(B t ) = 0 i kovarijansnom matricom E(B t B T s ) = min{t, s}I.Prirašataji Brownovog kretanja su nezavisni i stacionarni. Brownovo kretanjeje markovski proces.Teorema 1.2.16 Za skoro svako ω je trajektorija B t (ω) neprekidna po t.Tačnije postoji verzija Brownovog kretanja X tP {ω : X t (ω) = B t (ω)} = 1, za sve t > 0 (1.87)koja ima skoro sve neprekidne trajktorije.Nadalje ćemo uvek pretpostaviti da je B t upravo ova neprekidna verzija.Dakle, verovatnosna mera P B iz teoreme Kolmogorova se može uvesti naprostoru neprekidnih funkcija C((R d ) [0,∞) ) sa odgovarajućom Borelovom σ-algebrom. Verovatnosnu meru P B nazivamo Wienerova mera.Teorema 1.2.17 Skoro sve trajektorije Brownovog kretanja su skoro svudanediferencijabilne funkcije.Dakle, ne postoji klasičan slučajan proces koji je izvod Brownovog kretanja,odnosno ne postoji proces koji bi opisivao brzinu polenske čestice. Intuitivno,to bi bio gausovski proces čija je kovarijansa Diracova delta funkcija.Nažalost, tako nešto ne postoji u klasičnom smislu.Ipak, u nastavku ćemo definisati uopštene slučajne procese, specijalnoproces belog šuma koji će biti uopšteni izvod Brownovog kretanja. Nazivbeli šum je inspirisan činjenicom da bi takav proces - ako bi neformalnobio definisan u klasičnom smislu - imao konstantnu spektralnu gustinu sličnokao što bela svetlost uniformno sadrži boje svih talasnih dužina spektra. Rečšum sugeriše da ovaj proces u SDJ-ima modelira neke nepoznate faktore kojise tretiraju kao neke smetnje. Uglavnom to nisu baš zvučne smetnje, aliprimera radi možemo beli šum shvatiti kao zvuk koji uniformno sadrži sveglasove zvučnog spektra (brujanje avionskog motora, buka na tržištu akcijaili šustanje televizora kad nema programa).Sama činjenica da je proces uopšten znači da će biti konstruisan uvod¯enjemverovatnosne mere na prostoru Schwartzovih temperiranih distribucija S ′ (R d ),a ne mere na mnogo manjem prostoru (R d ) [0,∞) .
1.2 Osnovi stohastičke analize 33Itôv integralKako su trajektorije Brownovog kretanja funkcije neograničene varijacije,nemoguće je definisati integral u Lebesgue-Stiltjesovom smislu. Ovde dajemokratak opis konstrukcije tzv. Itôvog integrala (jednostavnosti radi u jednojdimenziji). Prostor (Ω, F, P ) je prostor verovatnoće, B t označava Brownovokretanje, a B je Borelova σ-algebra na R.Neka je preslikavanje f : R + × Ω → R merljivo u odnosu na B × F iadaptirano standardnom Brownovom filteru, takvo da je∫E( f(t, ω) 2 dt) < ∞. (1.88)1. Ako je f stepenasta funkcija oblika f(t, ω) = ∑ j e j(ω)χ [tj ,t j+1 ](t), tadase Itôv integral definiše kao∫f(t, ω)dB t (ω) = ∑ e j (ω)(B tj+1 − B tj ). (1.89)j2. Ako je f proizvoljna funkcija, ona se može u L 2 smislu aproksimiratinizom stepenastih funkcija f n tako da E (∫ (f(t, ω) − f n (t, ω)) 2 dt ) → 0,n → ∞. Tada se Itôv integral definiše kao∫∫f(t, ω)dB t (ω) = lim n→∞ f n (t, ω)dB t (ω) (1.90)gde je limit u L 2 -smislu.Važi da je Itôv integral martingal tj. E( ∫ tf(τ, ω)dB 0 τ(ω)|F s ) = ∫ sf(τ, ω)dB 0 τ(ω),za proizvoljno s ≤ t.Sa ̂L 2 (R n ) označavamo simetrične funkcije po n-promenljivih prostoraL 2 (R n ).Definicija 1.2.28 Neka je ψ ∈ ̂L 2 (R n ). Definišimo n-tostruki Itôv integralkao∫I n (ψ) = ψdB ⊗n =R n= n!∫ ∞ ∫ tn−∞−∞· · ·∫ t2−∞ψ(t 1 , t 2 , . . . , t n )dB(t 1 )dB(t 2 ) · · · dB(t n ) (1.91)gde su na desnoj strani n iteriranih jednostrukih Itôvih integrala.
34 UvodPrimetimo da zbog granica integrala u svakom koraku imamo adaptiranupodintegralnu funkciju, kao i da je zbog simetričnosti funkcije ψ integral invarijantanu odnosu na redosled iteriranih integrala (važi Fubinijevo pravilo).Teorema 1.2.18 (Itôva izometrija)(∫ ) 2 ∫E ψdB ⊗n = n! ψ(t 1 , . . . , t n ) 2 dt 1 · · · dt n . (1.92)R n R nItôv integral se teško izračunava direktno po definiciji; u konkretnim problemimase za izračunavanje integrala koriste Itôve formule. Ovde, jednostavnostiradi, navodimo Itôvu formulu za jednodimenzionalni slučaj.Definicija 1.2.29 Slučajan proces X t je standardan proces ako je oblikagde je PdX t = a(ω, t)dt + b(ω, t)dB t( ∫ ) (T∫ )a(ω, t)dt < ∞T= 1 i P0 0 b2 (ω, t)dt < ∞= 1.Teorema 1.2.19 (Itôva formula) Neka je X t , t ∈ [0, T ] standardan procesi f(t, x) : R + × R → R funkcija klase C 1,2 . Tada važif(t, X t )−f(0, 0) =∫ t0∫ tf x (s, X s )dX s + f t (s, X s )ds+ 102∫ t0f xx (s, X s )b 2 (ω, s)ds.Prvi integral u formuli je Itôv integral, drugi i treći su Riemannovi. Vidimoda se za razliku od klasične Newton-Leibnizove formule javljaju dodatničlanovi koji su posledica činjenice da su trajektorije Brownovog kretanjaneograničene varijacije.Ako sa Y t označimo proces Y t = f(t, X t ) tada prethodnu jednačinu možemoformalno pisati u obliku stohastičke diferencijalne jednačine:dY t = f x (t, X t )dX t + f t (t, X t )dt + 1 2 f xx(t, X t )dX t · dX tgde · označava množenje u tzv. box-algebri datoj pravilom: dt·dt = dt·dB t =dB t · dt = 0, dB t · dB t = dt. Pošto diferencijal nismo definisali (u klasičnojteoriji), vodimo računa o tome da iza ovakvog zapisa u stvari stoji integralnajednačina. U teoriji uopštenih stohastičkih procesa će upravo ovaj formalanzapis dB t biti zamenjen korektno definisanim konceptom belog šuma W (t).
Glava 2Uopšteni stohastički procesiŠiroku klasu slučajnih procesa koji se na prirodan način javljaju u primenama,nemoguće je definisati na klasičan način. Izvod Brownovog kretanjaodnosno proces belog šuma je možda najpozantiji od njih. Koncept belogšuma se pokazao kao odličan model naglih i velikih fluktuacija u dinamičkimsistemima, ali ga je matematički korektno moguće definisati jedino u okviruteorije uopštenih funkcija (distribucija). Uopšteni stohastički procesi su prviput uvedeni 1955 u radovima I.M. Gel’fanda, N. Vilenkina i K. Urbanika azatim je 80-ih ova teorija doživela snažan razvoj u K. Itôvim i T. Hidinimradovima. Tokom poslednjih decenija za razvoj ove teorije prvenstveno suzaslužni T. Hida, Y. Kondratiev, H. Kuo i B. Øksendal.Ova glava posvećena je raznovrsnim prostorima stohastičkih test i uopštenihfunkcija - to su pre svega dobro poznati Hidini, Kondratievi, a kao novitetuveden je i novi prostor exp(S) ρ . Tekst vodi čitaoca od konstrukcije osnovnogprostora verovatnoće belog šuma, preko Wiener-Itôve haos ekspanzijedo same konstrukcije gore navedenih prostora koji sadrže uopštene stohastičkefunkcije.Generalno, postoje dva pristupa ka proučavanju uopštenih stohastičkihprocesa i prostora koji ih sadrže: pomoću Itôvih integrala i operatora, ilipomoću Fourier-Hermiteovih polinoma. Većina autora se opredeljuje za jedanod ova dva pristupa; na primer u radovima T. Hide i H.H. Kua u velikoj merise koriste integrali i operatori, dok npr. kod Øksendala pretežno preovladavaovaj drugi pristup. Jedan od (manjih) ciljeva u ovoj tezi jeste da se ove dvenotacije objedine.Definisani su uopšteni stohastički procesi različitog tipa: to su procesi tipa(I) i tipa (U) kao što su ih definisali Inaba i Ullrich (videti npr. [23]), kao iprocesi tipa (O) kao što su ih definše Øksendal (videti npr. [17]). Esencijalnideo ove glave - kao i čitave teze - čine teoreme o ekspanziji procesa tipa (I)sa vrednošću u prostoru (S) −1 ili exp(S) −1 .
36 Uopšteni stohastički procesi2.1 Prostor verovatnoće belog šumaDefinicija 2.1.1 Neka je E nuklearan prebrojiv Hilbertov prostor topologizovannizom seminormi |·| n . Borelova σ-algebra B(E ′ ) je σ-algebra generisanaslabom topologijom prostora E ′ .Iz osobina nuklearnosti prostora sledi da se ista Borelova σ-algebra možegenerisati i jakom topologijom, induktivnom topologijom, ili cilindričnimskupovima oblikaCil φ1 ,...,φ n(B) = {ω ∈ E ′ : (〈ω, φ 1 〉, . . . , 〈ω, φ n 〉) ∈ B} (2.1)gde je B ∈ B(R n ) baza cilindra, a φ 1 , . . . , φ n ∈ E su fiksirani.Kako je osnovni nuklearan prostor E i separabilan, možemo birati za prostorH da je neki od prostora E n koji definišu prebrojivu strukturu prostoraE, i time dobijamo Gel’fandovu trojku oblikaE ⊆ H ⊆ E ′ . (2.2)Definicija 2.1.2 Funkcija C : E → C se naziva karakteristična funkcijaako ima osobine:1. C je neprekidna na E,2. C(0) = 1,3. C je pozitivno definitna tj. za proizvoljne z 1 . . . , z n ∈ C i φ 1 , . . . , φ n ∈ Ejen∑z j z k C(φ j − φ k ) ≥ 0. (2.3)j,k=1Teorema 2.1.1 (Bochner-Minlos) Neka je E nuklearan prostor i C karakterističnafunkcija na njemu. Tada postoji jedinstvena mera µ C na prostoru(E ′ , B(E ′ )) takva da je za svako φ ∈ E∫E ′ e i〈ω,φ〉 dµ C (ω) = C(φ). (2.4)Ako je C neprekidno i u odnosu na neku seminormu |·| p i ako je m > p takvoda je inkluzivno preslikavanje E m → E p HS-tipa, onda je µ C (E −m ) = 1.Uslov nuklearnosti iz Bochner-Minlosove teoreme je potreban i dovoljanda bi se aditivna mera dobijena na algebri cilindara (po konačnodimenzionalnojBochnerovoj teoremi) mogla proširiti na σ-aditivnu meru na beskonačnodimenzionalnomprostoru E ′ . Opširan dokaz ove teoreme kao i sama konstrukcijamere µ C može se naći u [9].
2.1 Prostor verovatnoće belog šuma 37Definicija 2.1.3 Prostor (E ′ , B(E ′ ), µ C ) nazivamo prostor šuma pridruženosnovnom prostoru (E, | · |).Definicija 2.1.4 Matematičko očekivanje merljive funkcije f definisane nadE ′ u odnosu na meru µ C je dato sa∫E µ (f) = f(ω)dµ C (ω), (2.5)E ′pod uslovom da je E µ (f) = ∫ E ′ |f(ω)|dµ C (ω) < ∞.Direktno iz (2.4) sledi da je karakteristična funkcija slučajne promenljive〈·, φ〉 data sa∫E µ (e i〈·,φ〉 ) = e i〈ω,φ〉 dµ C (ω). (2.6)E ′Sa stanovišta primena prirodno je posmatrati tzv. prostor belog šuma.Definicija 2.1.5 Neka je E = S(R d ), E ′ = S ′ (R d ), H = L 2 (R d ), C(φ) =exp{− 1 2 |φ|2 } i µ odgovarajuća mera iz teoreme Bochner-Minlosa. ProstorL 2 (R d )(S ′ (R d ), B, µ) (2.7)nazivamo prostor verovatnoće belog šuma. Mera µ je mera belog šuma iliGaussova mera na S ′ (R d ).U daljem radu pretpostavljamo da je osnovni prostor verovatnoće (Ω, F, P )prostor (S ′ (R d ), B, µ).Sa (L) 2 ćemo označavati kvadratno integrabilne funkcije na S ′ (R d ) uodnosu na meru belog šuma ili opštije(L) p = L p (S ′ (R d ), µ), 1 ≤ p ≤ ∞. (2.8)Prostor (L) 2 je Hilbertov, a skalarni proizvod u njemu je dat sa(F |G) (L) 2 = E µ (F G). (2.9)Teorema 2.1.2 Neka su ξ 1 , . . . , ξ n funkcije iz S(R d ) koje su ortonormiraneu L 2 (R d ). Neka je dλ n (x) = (2π) − n 2 e − 1 2 |x|2 dx 1 · · · dx n Gaussova mera na R n ,x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ R n . Tada n-dimenzionalna slučajna promenljivaω ↦→ (〈ω, ξ 1 〉, . . . , 〈ω, ξ n 〉) (2.10)ima raspodelu λ n , odnosno∫E µ (f(〈·, ξ 1 〉, · · · , 〈·, ξ n 〉)) = f(x)dλ n (x)R n (2.11)za svako f ∈ L 1 (R n , dλ n ).
38 Uopšteni stohastički procesiDokaz: Dokazaćemo da je karakteristična funkcija slučajne promenljive(〈ω, ξ 1 〉, . . . , 〈ω, ξ n 〉) jednaka karakterističnoj funkciji normalne n-dimenzionalneraspodele datoj relacijom (1.75). Na osnovu relacije (2.6) i ortogonalnostielemenata ξ k imamo da je(E µ e i ∑ ) ( )nk=1 〈·,ξ k〉= Ek=1 ξ k〉µ = e − 1 2 | ∑ nk=1 ξ k| 2 L 2 (R d −) = e 1 ∑ n2 k=1 |ξ k| 2 L 2 (R d )e i〈·,∑ nšto zaista jeste karakteristična funkcija normalne n-dimenzionalne raspodele. □Mera µ u stvari zamenjuje Lebesgueovu meru (koja ne postoji na beskonačnodimenzionalnimprostorima), a ima npr. osobinu da je rotaciono invarijantna.To možemo intuitivno shvatiti na sledeći način: neka je {η k } potpunortonormiran sistem od S(R d ). Napravimo niz koordinata 〈ω, η k 〉 = X k , k ∈N 0 . Tada je niz X k niz slučajnih promenljivih sa standardnom Gaussovomraspodelom, pa je prema jakom zakonu velikih brojevalim N→∞1NN∑Xn 2 = 1za s.s. ω (po meri µ). Tj. za ω ∈ supp(µ) je ∑ Nn=1 X2 n ≈ N. Ova jednačinaopisuje sferu u prostoru R N . Uzimajući granični proces N → ∞ možemoreći da nosač mere µ ”izgleda kao” beskonačnodimenzionalna sfera, pa jeinvarijantna pod beskonačnodimenzionalnim rotacijama. Precizna priča ogrupama rotacija i detaljni rezultati vezani za njih mogu se naći u [12].Teorema 2.1.3 Neka je φ ∈ L 2 (R d ) i niz φ n ∈ S(R d ) takav da φ n konvergiraka φ u prostoru L 2 (R d ). Tada je niz funkcija ω ↦→ 〈ω, φ n 〉 konvergentan uprostoru (L) 2 .Dokaz: Bez ograničenja opštosti pretpostavimo da su funkcije φ n ortogonalne.Primenjujući relaciju (2.11) za f(〈·, φ m 〉−〈·, φ n 〉) = |〈·, m−φ n φ|φ m−φ n|〉| 2L 2 (R d )dobijamo da je∫|〈ω, φ m 〉 − 〈ω, φ n 〉| 2 dµ(ω) = E µ (|〈·, φ m − φ n 〉| 2 )S ′ (R d )n=1= |φ m − φ n | 2 L 2 (R d ) E φ m − φ nµ(|〈·,〉| 2 )|φ m − φ n | L 2 (R d )∫= |φ m − φ n | 2 1 L 2 (R d ) (2π)− 2 x 2 e − 1 2 x2 dx= |φ m − φ n | 2 L 2 (R d )što pokazuje da je niz Cauchyjev, a kako je (L) 2 kompletan, on je i konvergentan.□R
2.1 Prostor verovatnoće belog šuma 39Prema prethodnoj teoremi možemo proširiti dejstvo elemenata iz ω ∈S ′ (R d ) i na funkcije φ ∈ L 2 (R d ), što ćemo označavati sa 〈ω, φ〉 ali podrazumevamoda je to u stvari〈ω, φ〉 = (L) 2 − lim n→∞ 〈ω, φ n 〉. (2.12)Teorema 2.1.4 Neka je t = (t 1 , . . . , t d ) ∈ R d i χ [0,t] = χ [0,t1 ]×···×[0,t d ] ∈L 2 (R d ) karakteristična funkcija pravougaonika [0, t]. Tada je saB(t, ω) = 〈ω, χ [0,t] 〉 (2.13)definisano d-parametarsko Brownovo kretanje na prostoru verovatnoće(S ′ (R d ), B, µ).Dokaz: Očigledno je B(0, ·) = 0 s.s. u odnosu na meru µ. Koristećirelaciju (2.4) lako se pokazuje da za proizvoljno n ∈ N, slučajna promenljiva(B(t (1) , ω), . . . , (B(t (n) , ω)) ima n-dimenzionalnu normalnu raspodelu sa nulaočekivanjemi kovarijansnom matricom n × n koja na (i, j)-tom polju ima element∏ dl=1 min{t(i) l, t (j)l}, gde su t (1) , . . . , t (n) ∈ R d . Neka su k ∈ {1, . . . , n}i s (k) ∈ R d proizvoljni. Posmatrajući k-tu komponentu B(t (k) , ω) pomoćurelacije (2.11) dobijamo da je priraštaj B(t (k) , ω) − B(s (k) , ω) normalno raspored¯ensa nula očekivanjem i disperzijom jednakoj ∏ dl=1 |t(k) l− s (k)l|. □Definicija 2.1.6 Uglačani beli šum je preslikavanje w : S(R d ) × S ′ (R d ) → Rdato saw(φ, ω) = 〈ω, φ〉. (2.14)Teorema 2.1.5 Za proizvoljno φ ∈ L 2 (R d ) je Itôv integral dat sa∫R d φ(t)dB(t, ω) = 〈ω, φ〉, ω ∈ S ′ (R d ). (2.15)Dokaz: Kako je φ ∈ L 2 (R d ) deterministička funkcija, uslov (1.88) je zadovoljen.Neka je ω ∈ S ′ (R d ) proizvoljno, fiksirano. Funkciju φ možemoaproksimirati nizom stepenastih funkcija f n (t) = ∑ j e j,nχ [tj ,t j+1 ](t), n ∈ Nkoji u L 2 (R d ) konvergira ka φ. Tada je〈ω, f n 〉 = 〈ω, ∑ je j,n χ [tj ,t j+1 ]〉 = ∑ je j,n 〈ω, χ [0,tj+1 ] − χ [0,tj ]〉= ∑ je j,n (B(t j+1 , ω) − B(t j , ω))
40 Uopšteni stohastički procesišto jeste (1.89). Prelaskom na granični proces n → ∞ i po teoremi 2.1.3 sleditvrd¯enje. □Koristeći parcijalnu integraciju može se pokazati da je u distribucionom(slabom) smislu, za skoro svako ω ∈ S ′ (R d )w =∂ d B∂t 1 · · · ∂t d(2.16)odnosno, uglačani beli šum predstavlja uopšteni izvod Brownovog kretanja.Definicija 2.1.7 Koordinatni proces uglačanog belog šuma je preslikavanjeW φ : R d × S ′ (R d ) → R dato sagde je φ t (s) = φ(s − t), s, t ∈ R d .W φ (t, ω) = w(φ t , ω) (2.17)Dakle, za fiksirano φ ∈ L 2 (R d ), proces uglačanog belog šuma dat saW φ (t, ω) = 〈ω(s), φ(s − t)〉je klasičan slučajan proces. U narednom poglavlju biće definisani singularnibeli šum.Teorema 2.1.6 Koordinatni proces uglačanog belog šuma ima sledećeosobine:1. Ako je supp φ t ∩ supp φ s = ∅, tada su slučajne promenljive W φ (t, ·) iW φ (s, ·) nezavisne.2. Stacionaran je.3. Za svako fiksirano t ∈ R d slučajna promenljiva W φ (t, ·) ima normalnuraspodelu sa nula očekivanjem i disperzijom |φ| 2 L 2 (R d ) .Definicija 2.1.8 Neka je P (x) = ∑ |α|≤N c αx α polinom stepena N, gde jeα = (α 1 , . . . , α n ) multiindeks i x α = x α 11 · · · x αnn . Preslikavanje P : S ′ (R d ) →R dato saP(ω) = P (〈ω, φ 1 〉, . . . , 〈ω, φ n 〉) (2.18)gde su φ 1 , . . . φ n ∈ S(R d ) nazivamo stohastički polinom.Preslikavanje E : S ′ (R d ) → R dato saza φ ∈ S(R d ) nazivamo stohastički eksponencijal.E(ω) = e i〈ω,φ〉 (2.19)
2.1 Prostor verovatnoće belog šuma 41Teorema 2.1.7 Familija stohastičkih polinoma (za N = 1, 2, . . .) i linearnaobvojnica familije stohastičkih eksponencijala su gusti skupovi u (L) p , p ≥ 1.U višedimenzionalnom slučaju, za dato m ∈ N definišemoS =m∏S(R d ), S ′ =i=1m∏S ′ (R d ),i=1prostor S ′ snabdevamo Borelovom σ-algebrom proizvoda i odgovarajućimproizvodom mera µ m = µ × · · · × µ . Dejstvo elementa ω = (ω} {{ }1 , . . . , ω m ) ∈ S ′mna element φ = (φ 1 , . . . , φ m ) ∈ S je dato saUred¯enu trojku〈ω, φ〉 = 〈ω 1 , φ 1 〉 + · · · + 〈ω m , φ m 〉.(S ′ , B, µ m )nazivamo m-dimenzionalni d-parametarski prostor verovatnoće belog šuma.Slično kao i u jednodimenzionalnom slučaju mogu se definisati m-dimenzionalnoBrownovo kretanje i koordinatni proces uglačanog belog šuma kao (klasični)m-dimenzionalni stohastički procesi (m-torka jednodimenzionalnih nezavisnihprocesa).Sa (L) 2,m ćemo označavati kvadratno integrabilne funkcije na S ′ u odnosuna meru m-dimenzionalnog belog šuma, odnosnoNeka je(L) 2,m = L 2 (S ′ , µ m ). (2.20)K =m⊕L 2 (R d )k=1ortogonalna suma m identičnih kopija prostora L 2 (R d ). Prostor K je Hilbertov,a norma na njemu je data sa |φ| K = ( ∑ mk=1 |φ k| 2 ) 1 2.Neka su d parametar belog šuma i m dimenzija belog šuma fiksirani. Nekaje N dimenzija prostora stanja belog šuma. Stavimo da je(L) 2,m,N =N⊕k=1(L) 2,mdirektna suma N identičnih kopija prostora m-dimenzionalnog belog šuma,( ∑N) 1snabdevena normom |f| N =k=1 |f n| 2 2K .
42 Uopšteni stohastički procesi2.2 Wiener-Itôva haos ekspanzijaNeka su h n Hermiteovi polinomi, ξ n Hermiteove funkcije i η j definisano kao u(1.38). Podsetimo se da familija funkcija η j čini ortonormiranu bazu prostoraL 2 (R d ) koja pripada S(R d ). Označimo sa I = (N N 0 ) c skup nizova prirodnihbrojeva koji imaju samo konačno mnogo elemenata različitih od nule.Definicija 2.2.1 Za proizvoljno α = (α 1 , α 2 , . . .) ∈ I definišimo Fourier-Hermiteov polinom sa∞∏H α (ω) = h αi (〈ω, η i 〉), ω ∈ S ′ (R d ). (2.21)i=1Primetimo da je Fourier-Hermiteov polinom u stvari konačan proizvodstohastičkih polinoma.U višedimenzionalnom slučaju (m > 1) ortonormiranu bazu prostora Kčine vektori dužine m oblika e (k) = (0, . . . , η j , 0, . . .) gde se η j nalazi na i-tommestu u nizu, a brojevi i, j su takvi da je k = i + (j − 1)m, i ∈ {1, 2, . . . , m},j ∈ N. U tom slučaju definišemoH (m)α (ω) =∞∏h αk (〈ω, e (k) 〉), ω ∈ S ′ . (2.22)k=1Teorema 2.2.1 Fourier-Hermiteovi polinomi H α(m)prostora (L) 2,m . Pri tome jeza α = (α 1 , α 2 , . . .) ∈ I.čine ortogonalnu bazu‖H (m)α ‖ (L) 2,m = √ α 1 !α 2 ! · · · (2.23)Dokaz: Jednostavnosti radi dajemo dokaz u slučaju m = 1. Neka su α =(α 1 , α 2 , . . . , α n ) i β = (β 1 , β 2 , . . . , β n ) proizvoljni multiindeksi iz I. Tada jeprema (2.11) i teoremi Fubinija( n)∏E µ (H α H β ) = E µ h αi (〈ω, η i 〉)h βi (〈ω, η i 〉)∫===i=1∏ nR n i=1n∏∫i=1Rh αi (x i )h βi (x i )dλ n (x 1 , . . . , x n )h αi (x i )h βi (x i )dλ 1 (x i )n∏{ 0, α ≠ βδ αi ,β iα i ! =α!, α = βi=1
2.2 Wiener-Itôva haos ekspanzija 43gde smo u poslednjem koraku koristili ortogonalnosti Hermiteovih polinoma.Kako je familija stohastičkih polinoma gusta u (L) 2 , proizvoljan element f ∈(L) 2 se može aproksimirati po ‖ · ‖ (L) 2 normi stohastičkim polinomom oblikaP n (ω) = f n (〈ω, η 1 〉, . . . , 〈ω, η n 〉). Polinom f n (x 1 , . . . , x n ) se može napisati kaolinearna kombinacija proizvoda ermitskih polinoma,f n (x 1 , . . . , x n ) = ∑ αc αn∏i=1h αi (x i ).Tada je P n (ω) = ∑ α c α∏ ni=1 h α i(〈ω, η i 〉) = ∑ α c αH α (ω). □Teorema 2.2.2 (Haos ekspanzija I) Proizvoljan element F ∈ (L) 2,m,Nima jedinstvenu reprezentaciju oblikaF (ω) = ∑ α∈Ic α H (m)α (ω), c α ∈ R N (2.24)tako da važi‖F ‖ 2 (L) 2,m,N = ∑ α∈Iα!c 2 α (2.25)gde je c 2 α = (c α |c α ) standardni skalarni proizvod u R N .Dokaz: Sledi iz prethodne teoreme, primenjujući je po komponentama (L) 2,mprostora (L) 2,m,N . □Relaciju (2.24) shvatamo u smislu da red konvergira u (L) 2,m,N . Iz ortogonalnostifamilije H α(m) sledi da su koeficijenti ekspanzije c α dati na sledećinačin: i-ta komponenta koeficijenta c α u razvoju elementa F = (F 1 , . . . , F N )jec i α = 1 α! E µ m(F i H (m)α ), i = 1, 2, . . . N.Koeficijent c 0 koji stoji uz multiindeks α = (0, 0, . . .) jeste upravo matematičkoočekivanje elementa F (ω).Wiener-Itôva haos ekspanzija se može dati i preko Itôvih integrala. Pretpostavimojednostavnosti radi da su N = 1, m = 1, d = 1, a u višedimenzionalnomslučaju se lako prelazi na odgovarajući tenzorski proizvod.Teorema 2.2.3 (Itô,1951) Neka je α = (α 1 , . . . , α k ) multiindeks dužine|α| = n. Tada je∫R n ξ ˆ⊗α dB ⊗n =k∏h αj (〈ω, ξ j 〉) = H α (ω) (2.26)j=1gde smo koristili notaciju da je ξ ˆ⊗α = ξ ˆ⊗α 11ˆ⊗ · · · ˆ⊗ξ ˆ⊗α kk.
44 Uopšteni stohastički procesiNa primer za n = 1, prema (2.15) imamo ∫ R ξ j(t)dB(t, ω) = 〈ω, ξ j 〉 =h 1 (〈ω, ξ j 〉), jer je h 1 (x) = x.Teorema 2.2.4 (Haos ekspanzija II) Proizvoljan element F ∈ (L) 2 imajedinstvenu reprezentaciju oblikaF (ω) =∞∑∫n=0R n f n dB ⊗n , f n ∈ ̂L 2 (R n ) (2.27)tako da važi‖F ‖ 2 (L) = ∑ ∞n!|f 2 n | 2 L 2 (R n ) . (2.28)n=0Dokaz: Koristeći haos ekspanziju I, grupišemo multiindekse α po njihovojdužini:F (ω) = ∑ ∞∑ ∑∞∑ ∑∫c α H α (ω) = c α H α (ω) = c α ξ ˆ⊗α dB ⊗nαn=0 |α|=nn=0 |α|=nR n∞∑∫∑=c α ξ ˆ⊗α dB ⊗n .Zan=0R n |α|=nf n = ∑c α ξ ˆ⊗α ∈ ̂L 2 (R n ) (2.29)|α|=nsledi tvrd¯enje. □Neka H n označanva podprostor od (L) 2 razapet Fourier-Hermiteovimpolinomima reda n. U skladu sa relacijom (2.26) ovaj prostor se nazivan-tostruki Itôv integral ili n-ti homogeni haos. Haos ekspanzija I se možereformulisati i kao izomorfizam sa odgovarajućim Fockovim prostorom⊕ ∞(L) 2 ∼ = H n .Na primer Brownovo kretanje ”živi” u prostoru H 1 . Prostor ̂L 2 (R n ) se u tomsmislu može shvatiti kao realizacija prostora H n . Haos ekspanzija II zapravoje izomorfizam sa Fockovim prostoromn=0⊕ ∞√(L) 2 ∼ = n! ̂L2 (R n ).n=0
2.2 Wiener-Itôva haos ekspanzija 45Ovaj izomorfizam se uspostavlja tzv. S-transformacijom, koja je detaljnoopisana npr. u knjigama [12] i [16]. Ako je F n ∈ H n ⊆ (L) 2 , tada njoj odgovarajućusimetričnu funkciju f n ∈ ̂L 2 (R n ) sa osobinom ‖F n ‖ (L) 2 = √ n!|f n |̂L2 (R n )nazivamo integralno jezgro. Integracija u odnosu na dB t definiše operator kojiprenosi integrabilne elemente iz H n u prostor H n+1 ; dakle u tom kontekstuItôv integral odgovara operatoru kreacije na Fockovom prostoru.Primer 2.2.1 Neka je ε jmestu.= (0, 0, . . . , 1, 0, . . .) niz sa jedinicom na j-tom1. Jednodimenionalni (m = 1) uglačani beli šum ima ekspanzijuw(φ, ω) =∞∑(φ|η j )H εj (ω). (2.30)j=1Naime važi:∞∑w(φ, ω) = 〈ω, φ〉 = 〈ω, (φ|η i )η i 〉 =i=1∞∑(φ|η i )〈ω, η i 〉 =i=1∞∑(φ|η i )H εi (ω).i=12. Jednodimenzionalno d-parametarsko Brownovo kretanje ima ekspanzijuB(t, ω) =Ovo sledi iz činjenice da je∞∑(∫ tj=10)η j (u)du H εj (ω). (2.31)χ [0,t] (x) =∞∑(χ [0,t] |η j )η j (x) =i=1∞∑∫ ti=1 0η i (s)ds η i (x).Dakle,B(t, ω) = 〈ω, χ [0,t] 〉 = 〈ω,∞∑∫ ti=1 0η i (s)ds η i 〉 =∞∑∫ ti=1 0η i (s)ds〈ω, η i 〉.
46 Uopšteni stohastički procesi2.3 Prostori stohastičkih test funkcija iuopštenih funkcijaU prethodnom odeljku je bio definisan uglačani beli šum, ali još uvek nemamopogodan objekat (model) koji bi predstavljao izvod Brownovog kretanja. Uovom delu teze biće definisan tzv. singularni beli šum, i ujedno različitiprostori u kojima ”živi” singularni beli šum zajedno sa ostalim ”lošim” procesima.Posmatrajmo jednostavnosti radi, jednodimenzionalan slučaj (d = 1). Uanalogiji sa pretpostavkama mogli bismo formalno pisati:ddt B(t) = lim B(t + h) − B(t)h→∞h= lim h→∞ 〈·, 1 h χ [t,t+h]〉.Ali ovaj limes ne postoji u prostoru (L) 2 , slično kao što ni 1 χ h [t,t+h] ne konvergirau L 2 (R). Ipak, 1 χ h [t,t+h] konvergira ka Diracovoj δ t distribuciji u prostorutemperiranih distribucija S ′ (R). Slična je ideja i u ovom slučaju: potrebno jekonstruisati neki novi prostor - sa topologijom slabijom od topologije ‖ · ‖ (L) 2norme - koji će imati sličan odnos sa (L) 2 kao što S ′ (R) ima sa L 2 (R).Takvi prostori će biti prostori Kondratieva, Hide ...itd. Formalno, želimodati smisla izrazu oblika 〈·, δ t 〉, odnosno koristeći razvoj δ t = ∑ ∞n=1 ξ n(t)ξ n uS ′ (R), želimo dati smisao formalnom razvoju2.3.1 Hidini prostori∞ddt B(t, ω) = ∑ξ n (t)〈ω, ξ n 〉.n=1Neka je A = −d 2 /dx 2 + x 2 + 1 samoadjungovani diferencijalni operator sakarakterističnim korenima λ n = 2n. Prema haos ekspanziji II, svaku funkcijuF ∈ (L) 2 možemo prikazati u oblikuF =∞∑I n (f n )n=0gde je I n oznaka za n-tostruki Itôv integral, a f n su iz ̂L 2 (R n ). Norma na(L) 2 je data sa (2.28). Označimo je, preglednosti radi, sa ‖ · ‖ 0 . Dakle,‖F ‖ 0 =( ∞∑n=0n!|f n | 2 ) 12.
2.3 Prostori stohastičkih test funkcija iuopštenih funkcija 47Kako je (L) 2 izomorfan sa Fockovim prostorom, možemo posmatrati operatordruge kvantizacije Γ(A), koji je gusto definisan na (L) 2 sa∞∑Γ(A)F = I n (A ⊗n f n ). (2.32)n=0Poznato je da je Γ(A) takod¯e samoadjungovan sa karakterističnim vektorimaF α = √ 1 I n (ξ ˆ⊗α ) = √ 1 H α (ω), |α| = n.α! α!Familija F α , α ∈ I čini ortonormiranu bazu (L) 2 i pri tome je∞∏Γ(A)F α = λ α 11 λ α 22 · · · F α = (2j) α jF α ,gde je α = (α 1 , α 2 , . . .). Slično, za proizvoljno p ≥ 0 je∞∑Γ(A) p F = I n ((A p ) ⊗n f n ) (2.33)samoadjungovan i pri tome važiΓ(A) p F α =n=0j=1∞∏(2j) pα jF α . (2.34)j=1Takod¯e je poznato da je Γ(A) −1 operator Hilbert-Schmidt tipa sa normom( ∞ −1∏‖Γ(A) −1 ‖ 2 HS = (1 − λ −2j )). (2.35)Definišimo, za proizvoljno p ≥ 0i stavimo‖F ‖ p = ‖Γ(A) p F ‖ 0 =j=1( ∞∑n=0n!|(A p ) ⊗n f n | 2 ) 12(2.36)(S) p = {F ∈ (L) 2 : ‖F ‖ p < ∞}. (2.37)Neka je (S) = ⋂ p (S) p snabdeven projektivnom topologijom i (S) ∗ njegovdual. Tada imamo Gel’fandovu trojku (S) ⊆ (L) 2 ⊆ (S) ∗ sa neprekidniminkluzijama HS-tipa(S) ⊆ (S) p ⊆ (L) 2 ⊆ (S) ∗ p ⊆ (S) ∗Može se pokazati da je norma na (S) ∗ p data sa ‖F ‖ −p = ‖Γ(A) −p F ‖ 0 tj, (S) ∗ pje kompletiranje (L) 2 sa normom ‖ · ‖ −p .
48 Uopšteni stohastički procesiDefinicija 2.3.1 Prostor (S) je prostor Hidinih test funkcija. Prostor (S) ∗je prostor Hidinih distribucija.2.3.2 Kondratievi prostoriNeka je ρ ∈ [0, 1] fiksiran broj. Stavimo∞∑‖F ‖ 2 ρ,p = (n!) 1+ρ |(A p ) ⊗n f n | 2 L 2 (R n ) (2.38)n=0i neka je(S p ) ρ = {F ∈ (L) 2 : ‖F ‖ ρ,p < ∞}, p ≥ 0. (2.39)Inkluzije (S p+1 ) ρ ⊆ (S p ) ρ su HS-tipa. Stavimo da je(S) ρ = ⋂ p(S p ) ρ , projektivni limiti (S) ∗ ρ njegov dual. Tada je (S) ρ nuklearan i imamo Gel’fandovu trojku(S) ρ ⊆ (L) 2 ⊆ (S) ∗ ρ. Može se proveriti da je norma na (S p ) ∗ ρ ekvivalentanormi‖F ‖ 2 −ρ,−p =∞∑(n!) 1−ρ |(A −p ) ⊗n f n | 2 L 2 (R n ) . (2.40)n=0Prema tome, prostor (S p ) ∗ ρ ćemo označavati i sa (S −p ) −ρ , a prostor (S) ∗ ρ sa(S) −ρ . Jasno, (S) −ρ predstavlja induktivni limit prostora (S −p ) −ρ .Definicija 2.3.2 Prostor (S) ρ je prostor Kondratievih test funkcija. Prostor(S) ∗ ρ je prostor Kondratievih distribucija.Specijalno, za ρ = 0 Kondratievi prostori se svode na Hidine prostore. Akoje ρ 1 ≤ ρ 2 , tada je (S) ρ1 ⊇ (S) ρ2 . Primetimo da je (S 0 ) ρ = (S −0 ) ρ = (L) 2ako i samo ako je ρ = 0.2.3.3 Kondratievi prostori u višedimenzionalnom slučajuPrethodne konstrukcije koriste haos ekspanziju II (preko integrala), a sličnose mogu konstruisati i odgovarajući prostori preko Fourier-Hermiteovih polinoma(haos ekspanzija I). Ilustracije radi, uradimo konstrukciju Kondratievihprostora za d > 1, m > 1, N > 1.
2.3 Prostori stohastičkih test funkcija iuopštenih funkcija 49Uvedimo konvenciju za multiindekse α, β ∈ I da je α β = α β 11 α β 22 · · · ispecijalnu oznaku koju je uveo Øksendal u [17]:(2N) γ =∞∏(2j) γ j(2.41)j=1gde je γ = (γ 1 , γ 2 , . . .) konačan niz realnih brojeva.Teorema 2.3.1 (Zhang, 1992) ∑ α∈I (2N)−pα < ∞ ako i samo akoje p > 1.Neka je ρ ∈ [0, 1] fiksiran broj.Definicija 2.3.3 Prostor Kondratievih test funkcija, u oznaci (S) m,Nρ , sesastoji od elemenata f = ∑ α c αH α(m) ∈ (L) 2,m,N , c α ∈ R N , takvih da je‖f‖ 2 ρ,p = ∑ αc 2 α(α!) 1+ρ (2N) pα < ∞, za sve p ∈ N. (2.42)Prostor Kondratievih distribucija, u oznaci (S) m,N−ρ , se sastoji od formalnihrazvoja oblika F = ∑ α b αH α(m) , b α ∈ R N takvih da je‖F ‖ 2 −ρ,−p = ∑ αb 2 α(α!) 1−ρ (2N) −pα < ∞, za neko p ∈ N. (2.43)Dejstvo elementa F na test funkciju f je dato sa〈F, f〉 = ∑ α(b α |c α )α! (2.44)gde je (·|·) skalarni proizvod u R N .U jednodimenzionalnom slučaju su norme date relacijama (2.42) i (2.38)ekvivalentne. Ako u (2.38) zamenimo iz (2.29) da je f n = ∑ |α|=n c αξ ˆ⊗α , sledida je(A p ) ⊗n f n = ∑ ∏ ∞c α λ pα jj ξ ˆ⊗α ,te je i|α|=n|(A p ) ⊗n f n | 2 L 2 (R n ) = ∞∏j=1j=1λ 2pα jj∑|α|=nc 2 α
50 Uopšteni stohastički procesigde su λ j = 2j karakteristični koreni operatora A. Odavde sledi da se|(A p ) ⊗n f n | 2 L 2 (R n ) ponaša kao (2N)2pα ∑ α c2 α.Za proizvoljno ρ ∈ [0, 1] je prostor (S) ρ nuklearan. Jasno, po definicijinorme (2.42) lako se vidi da je (S) ρ projektivni limit prostora (S p ) ρ = {f =∑α c αH α : ‖f‖ ρ,p < ∞}. Prostor (S p ) ρ je Hilbertov sa skalarnim proizvodom(f|g) ρ,p = ∑ αa α b α α! 1+ρ (2N) pα ,gde su f = ∑ α a αH α , g = ∑ α b αH α ∈ (S p ) ρ . Familija funkcijaK α,p = α! − 1+ρ2 (2N)− pα 2 Hα ,α ∈ I čini ortonormiranu bazu prostora (S p ) ρ . Za proizvoljno p > q + 1 jetada po teoremi Zhanga∑‖K α,p ‖ 2 ρ,q = ∑ (2N) −(p−q)α < ∞,ααšto znači da je inkluzija (S p ) ρ ⊆ (S q ) ρ Hilbert-Schmidt tipa.Slobodan član c 0 u ekspanziji, odnosno koeficijent koji stoji uz multiindeksα = (0, 0, . . .) nazivamo uopštenim matematičkim očekivanjem elementa F ∈(S) −1 .Definicija 2.3.4 1. Jednodimenzionalni d-parametarski singularni beli šumje definisan formalnim razvojemW (t, ω) =∞∑η k (t)H εk (ω) (2.45)k=1gde je t ∈ R d , ε k = (0, . . . , 1, 0 . . .).2. m-dimenzionalni d-parametarski singularni beli šum je definisan saW (t, ω) = (W 1 (t, ω), . . . , W m (t, ω))gde je i-ta komponenta data razvojemW i (t, ω) =∞∑η j (t)H εi+(j−1)m (ω). (2.46)j=1
2.3 Prostori stohastičkih test funkcija iuopštenih funkcija 51Specijalno, za d = 1 singularni beli šum je dat haos ekspanzijom prekoItôvih integrala kaoW (t, ω) =∞∑ξ k (t)h 1 (〈ω, ξ k 〉) =k=1= 〈ω,∞∑ξ k (t)〈ω, ξ k 〉k=1∞∑∞∑ξ k (t)ξ k 〉 = I 1 ( ξ k (t)ξ k ) = I 1 (δ t ).k=1Teorema 2.3.2 Singularni beli šum pripada Hidinom prostoru distribucija.Dokaz (za m = 1): Potrebno je dokazati da je za svako fiksirano t ∈ R d ,W (t, ω) ∈ (S) ∗ 0, tj. da je za neko p ∈ N,k=1∞∑ηk(t)(2k) 2 −p < ∞.k=1Poznato je da ermitske funkcije imaju osobinu sup x∈R |ξ n (x)| = O(n − 1 12 ), paprelaskom na tenzorski proizvod sledi da je i |ηk 2 (t)| ≤ C za neku konstantuC uniformno po t ∈ R d i k = 1, 2, . . .. Prema teoremi Zhanga, sledi da redkonvergira za svako p > 1. □Primer 2.3.1 Neka je ρ ∈ (0, 1) dato. Posmatrajmo uopštenu stohastičkufunkciju∞∑X = (n!) ρ−24 Hεn . (2.47)Tada je‖X‖ 2 −ρ,−p =n=1∞∑(n!) 1−ρ (n!) ρ−22 (2N)−pε n=n=1∞∑(n!) − ρ 2 (2n) −p .Ovaj red konvergira po D’Alambertovom kriterijumu za svako p ≥ 0. DakleX ∈ (S) −ρ . S druge strane je‖X‖ 2 0,−p =∞∑(n!)(n!) ρ−22 (2N)−pε n=n=1n=1∞∑(n!) ρ 2 (2n) −p .Ovaj red je divergentan za svako p ≥ 0, što znači da X /∈ (S) ∗ . Ovaj primerpokazuje da je prostor Kondratieva širi od prostora Hidinih distribucija.n=1
52 Uopšteni stohastički procesi2.3.4 Prostori exp(S) ρ i exp(S) −ρPosmarajmo umesto operatora Γ p (A) iz konstrukcije Hidinih i Kondratievihprostora, operator e pΓ(A) definisan na sledeći način:e pΓ(A) =∞∑k=0p k Γ k (A). (2.48)k!Lako se može proveriti da je za proizvoljan multiindeks α ∈ In=0e pΓ(A) ξ ˆ⊗α = e p(2N)α ξ ˆ⊗α .Neka je F ∈ (L) 2 sa ekspanzijom F = ∑ ∞n=0 I n(f n ), gde su f n iz ̂L 2 (R n ),n ∈ N. Tada je(∞∑ ∞)∑e pΓ(A) p kF = I nk! (Ak ) ⊗n f n (2.49)n=0 k=0∞ ∣i zato je ‖e pΓ(A) F ‖ 2 (L) = ∑∞∑ p k ∣∣∣∣2n!2 ∣ k! (Ak ) ⊗n f n .k=0L 2 (R n )Neka je ρ ∈ [0, 1] proizvoljno, fiksirano. Definišimo normu ‖ · ‖ ρ,p,exp sa‖F ‖ ρ,p,exp =∞∑ ∑ ∞n! 1+ρ p k ∣ ∣∣(A k ) ⊗n f n 2(2.50)k!L 2 (R n )n=0k=0U višedimenzionalnom slučaju d > 1, m > 1, N > 1, ako je F ∈ (L) 2,m,N datekspanzijom F = ∑ α∈I c αH α(m) , c α ∈ R N , tada je (2.50) ekvivalentno sa‖F ‖ ρ,p,exp = ∑ αα! 1+ρ ∞∑k=0p kk! c2 α(2N) kα = ∑ αα! 1+ρ c 2 αe p(2N)α . (2.51)Definicija 2.3.5 Prostor test funkcija exp(S) m,Nρ , se sastoji od elemenataf = ∑ α c αH α(m) ∈ (L) 2,m,N , c α ∈ R N , takvih da je‖f‖ 2 ρ,p,exp = ∑ αc 2 α(α!) 1+ρ e p(2N)α < ∞, za sve p ∈ N. (2.52)Prostor stohastičkih distribucija exp(S) m,N−ρ , se sastoji od formalnih razvojaoblika F = ∑ α b αH α(m) , b α ∈ R N takvih da je‖F ‖ 2 −ρ,−p,exp = ∑ αb 2 α(α!) 1−ρ e −p(2N)α < ∞, za neko p ∈ N. (2.53)
2.3 Prostori stohastičkih test funkcija iuopštenih funkcija 53Teorema 2.3.3 ∑ α∈I e−p(2N)α < ∞ ako i samo ako je p > 0.Za proizvoljno ρ ∈ [0, 1] je prostor exp(S) ρ nuklearan. Iz definicije lako sevidi da je exp(S) ρ projektivni limit prostora exp(S p ) ρ = {f = ∑ α c αH α :‖f‖ ρ,p,exp < ∞}. Prostor exp(S p ) ρ je Hilbertov sa skalarnim proizvodom(f|g) ρ,p,exp = ∑ αa α b α α! 1+ρ e p(2N)α ,gde su f = ∑ α a αH α , g = ∑ α b αH α ∈ exp(S p ) ρ . Familija funkcijaK α,p = α! − 1+ρ2 ep2 (2N)α H α ,α ∈ I čini ortonormiranu bazu prostora exp(S p ) ρ . Za proizvoljno p > q jetada po prethodnoj teoremi∑‖K α,p ‖ 2 ρ,q,exp = ∑ α! −(1+ρ) e −p(2N)α ‖H α ‖ 2 ρ,p,exp = ∑ α! −(1+ρ) e −p(2N)α α! 1+ρ e q(2N)αααα= ∑ αe −(p−q)(2N)α < ∞,što znači da je inkluzija exp(S p ) ρ ⊆ exp(S q ) ρ Hilbert-Schmidt tipa.(2.54)Jasno, najširi od prostora distribucija exp(S) −ρ je exp(S) −1 .Za proizvoljno ρ ∈ [0, 1], p > 0 i F ∈ (L) 2 je ‖F ‖ ρ,p,exp > ‖F ‖ ρ,p , odaklesledi odnos sa Kondratievim prostorima:exp(S) ρ ⊆ (S) ρ ⊆ (L) 2 ⊆ (S) −ρ ⊆ exp(S) −ρ .Primer 2.3.2 Posmatrajmo uopštenu stohastičku funkciju∞∑X = e n H εn . (2.55)Tada je‖X‖ 2 −1,−p,exp =n=1∞∑|e n | 2 e −p(2N)εn =n=1∞∑e 2n e −2pn =n=1∞∑n=1( 1e 2(p−1) ) n.Ovaj red konvergira za svako p ≥ 1. Dakle X ∈ exp(S) −1 . S druge strane je∞∑‖X‖ 2 −1,−p = e 2n (2n) −p .n=1Ovaj red je divergentan za svako p ≥ 0, što znači da X /∈ (S) −1 . Ovaj primerpokazuje da je prostor exp(S) −1 širi od prostora Kondratievih distribucija.
54 Uopšteni stohastički procesiPrimer 2.3.3Neka je u definiciji 2.1.1 prostor E jednak prostoru realnih brojeva R, ineka su sve seminorme | · | n jednake funkciji apsolutne vrednosti. Tada jeR osnovni nuklearan prostor sa uobičajenom topologijom, on je Hilbertov -skalarni proizvod je dat običnim množenjem realnih brojeva, i R ′ možemoidentifikovati sa R.Posmatrajmo dobro poznatu karakterističnu funkciju normalne raspodeleC(t) = e − 1 2 t2 . Po teoremi Bochner-Minlosa postoji jedinstvena mera µ takvada je ∫ R eixt dµ(x) = e − 1 2 t2 , to jest mera µ je upravo klasična gausovska meradata sa dµ = √ 12πe − 1 2 x2 dx. Prostor belog šuma u ovom (trivijalnom) primerujeste prostor realnih brojeva, snabdeven Borelovom σ-algebrom i gausovskommerom: (R, B, µ).Prostor (L) 2 se u ovom primeru svodi na prostor L 2 (R, dµ). Potpun ortogonalansistem u njemu čini familija h n ,n ∈ N, odnosno Fourier-Hermiteovipolinomi su u ovom slučaju upravo klasični Hermiteovi polinomi. Haos ekspanzijautvrd¯uje izomorfizam prostora (L) 2 sa prostorom kvadratno sumabilnihnizova l 2 sa težinom n!, koji u ovom slučaju ima ulogu Fockovog prostora.Konkretno, svako f ∈ L 2 (R, dµ) je dato ekspanzijom f(x) = ∑ ∞n=0 a nh n (x),a n = (f|h n ) = ∫ f(x)h R n(x)dµ(x), i važi ∑ ∞n=0 |a n| 2 n! < ∞. Možemo posmatratii potpun ortonormiran sistem ˜h n = √ 1n!h n .Za konstrukciju prostora Hide posmatrajmo samoadjungovani operator A(jedini koji postoji na R): množenje sa nekom datom konstantom c > 0.Dakle A : R → R, A(x) = c · x. Karekteristični koren ovog operatora je c,a karakteristični vektor je e = 1. Inverzni operator je A −1 (x) = x , on jecograničen i ima HS-normu ‖A −1 ‖ = 1 . Operator druge kvantizacije je datcsa Γ(A)f = ∑ ∞n=0 cn a n˜hn , gde su korišćene oznake iz haos ekspanzije. Specijalno,Γ(A)˜h m = c m ˜hm , pa je i Γ(A) samoadjungovan sa karakterističnimkorenima {c m , m ∈ N}. Hidine norme su date sa ‖f‖ 2 p = ‖Γ(A) p f‖ 2 (L)=∑ 2 ∞n=0 c2np a 2 n. Sada je jasno da se prostor Hidinih distribucija u ovom slučajusvodi na prostor exp S ′ (R), odnosno Gel’fandova trojka (S) ⊆ (L) 2 ⊆ (S) ∗jeste exp S(R) ⊆ L 2 (R, dµ) ⊆ exp S ′ (R).2.4 Tipovi uopštenih stohastičkih procesaUopšteni stohastički procesi se mogu definisati na više načina u zavisnosti odpotreba u primeni. Navodimo različite vrste definicije uopštenih stohastičkihprocesa, koje ćemo, da bi se ipak razlikovali, nazvati procesima odred¯enogtipa.Definicija 2.4.1 (Øksendal) Uopšten stohastički (S) −1 -proces je merljivo
2.4 Tipovi uopštenih stohastičkih procesa 55preslikavanjeU : R d → (S) −1 .Na primer singularni beli šum definisan sa t ↦→ W (t) je proces u smisluove definicije. Uopšteni procesi su na ovaj način ”tačkasto ” definisani povrememskom parametru t, a reč uopšten znači da preslikavanje U primavrednosti u nekom prostoru uopštenih stohastičkih funkcija; na primer uKondratievom prostoru (S) −1 . Dakle, za fiksirano t ∈ R d imamo uopštenuslučajnu promenljivu U(ω) ∈ (S) −1 koja nema tačkastu vrednost za svakoω, već samo srednju vrednost 〈U(ω), f(ω)〉 u odnosu na ”glatku” slučajnupromenljivu f(ω) ∈ (S) 1 .Naravno, na isti način mogu se posmatrati i prostori Hidinih distribucija,prostori exp(S) −1 i dr. Uopštene slučajne procese u smislu merljivogpreslikavanja iz R d u neki prostor uopštenih stohastičkih funkcija nazivaćemoprocesima tipa (O).Definicija 2.4.2 (Øksendal) L p -funkcionalni proces je preslikavanjeX : S(R d ) × R d → (L) p .Na primer uglačani beli šum definisan sa (φ, t) ↦→ W φ (t) je primer funkcionalnogprocesa.Definicija 2.4.3 (Walsh) Uopšten stohastički proces je merljivo preslikavanjeX : Ω → S ′ (R d ).Za svako ϕ ∈ S(R d ) preslikavanje Ω → R d dato sa ω ↦→ 〈X(ω), ϕ〉 je slučajnapromenljiva. Motivacija za ovakvu definiciju uopštenih procesa se nalazi utome da su trajektorije Brownovog kretanja nediferencijabilne funkcije, te seti izvodi nalaze u prostoru uopštenih funkcija S ′ (R d ). Dakle za svako fiksiranoω imamo jednu uopštenu (determinističku) funkciju kao trajektoriju,zato proces nije indeksiran vremenskim parametrom t ∈ R d , već glatkimfunkcijama ϕ ∈ S(R d ).Procesima ovog tipa se dalje nećemo baviti; umesto toga uzeli smo zaosnovni prostor verovatnoće da je Ω = S ′ (R d ).Definicija 2.4.4 (Inaba) Uopšten stohastički proces je linearno, neprekidnopreslikavanjeX : S(R d ) → L 2 (Ω).
56 Uopšteni stohastički procesiDakle, slično kao i u prethodnoj definiciji svakom ϕ ∈ S(R d ) se dodeljujejedna slučajna promenljiva.Motivisani ovom definicijom, elemente prostora L(D, L 2 (Ω)) odnosno linearnaneprekidna preslikavanja iz nekog test-prostora D u prostor slučajnihpromenljivih L 2 (Ω), nazivaćemo procesima tipa (I).Ovu definiciju proširujemo i na elemente prostora uopštenih slučajnihpromenljivih, te npr. i elemente prostora L(S(R d ), (S) −1 ) nazivamo procesimatipa (I).Definicija 2.4.5 (Ullrich) Neka je V vektorsko topološki prostor i V ′njegov dual. Uopšten slučajan proces nad V je preslikavanjetako da važi:X : Ω × V → C1. za svako fiksirano ω ∈ Ω je X(ω, ·) ∈ V ′ ,2. za svako fiksirano ϕ ∈ V je X(·, ϕ) kompleksnovrednosna slučajnapromenljiva.Specijalno, za V = S(R d ) to su procesi Gel’fand-Vilenkin tipa. Procese izove definicije nazivaćemo procesima tipa (U).Primetimo, da ako je X proces tipa (I) tj. X ∈ L(V, L 2 (Ω)), tada nemamoneprekidnost za fiksirano ω ∈ Ω. Ako je proces X tipa (I) i ako zasvako fiksirano ω ∈ Ω važi X(ω, ·) ∈ V ′ , tada je proces X ujedno i tipa (U).Primeri procesa tipa (I) koji nisu tipa (U) i primeri procesa tipa (U) kojinisu tipa (I), mogu se naći u [23].Klasa procesa tipa (O) se na prirodan način može potopiti u klasu procesatipa (I). Neka je sa t ↦→ U(t, ·) ∈ (S) −1 dat proces tipa (O) koji je lokalnointegrabilan u Pettisovom smislu tj. U ∈ L 1 loc (Rd , (S) −1 ). Tada njemuodgovara uopštena funkcija Ũ odnosno linearno neprekidno preslikavanjeŨ ∈ L(S(R d ), (S) −1 ) dato sa[Ũ, ϕ](ω) = ∫R d U(t, ω)ϕ(t)dt, ϕ ∈ S(R d ), (2.56)gde je [·, ·] oznaka za dualno sparivanje u L(S(R d ), (S) −1 ); dakle [Ũ, ϕ](ω) ∈(S) −1 .U narednom delu teze ćemo se ograničiti na proučavanje procesa tipa (O)i tipa (I). Poznate rezultate vezane za procese tipa (O) - njihovu ekspanziju,Wickov proizvod, itd. prenećemo po (2.56) i na procese tipa (I). Teoremeo ekspanziji procesa tipa (I) čine esencijalni deo ove teze i dobijene su usaradnji sa dr Stevanom Pilipovićem.
2.4 Tipovi uopštenih stohastičkih procesa 572.4.1 Ekspanzija procesa tipa (O)Kako su procesi tipa (O) definisani tako da svakom fiksiranom t ∈ R d dodeljujuelement prostora uopštenih stohastičkih funkcija, teorema o njihovojekspanziji sledi direktno iz Wiener-Itôve haos ekspanzije i definicije odgovarajućegprostora uopštenih stohastičkih funkcija (primera radi navodimoteoremu za prostore Kondratieva).Teorema 2.4.1 Neka je X : R d → (S) m,N−ρ proces tipa (O). Tada je on datformalnim razvojemc α (t)H α (m)(2.57)X(t) = ∑ α∈Igde su c α : R d → R N merljive funkcije, ako i samo ako postoji p ∈ N 0 takoda je za svako fiksirano t ∈ R d‖X(t)‖ −ρ,−p = ∑ αα! 1−ρ c α (t) 2 (2N) −pα < ∞. (2.58)U jednodimenzionalnom slučaju N = m = d = 1 možemo dati i karakterizacijupreko Itôvih integrala: tada je proces dat razvojem∞∑X(t) = I n (f n ), (2.59)n=0gde su f n merljive funkcije n+1 promenljivih, simetrične po prvih n promenljivihtj.f n (·, t) ∈ ̂L 2 (R n )i pri tome važi da je za neko p ≥ 0 i svako t ∈ R d zadovoljeno ‖X(t)‖ −ρ,−p
58 Uopšteni stohastički procesiPettisov integral u prostoru Kondratieva (S) 1 i u prostoru exp(S) 1 ćemotakod¯e označavati sa (S) ∫ ∗ , a njegova definicija je analogna sa definicijomRPettisovog integrala u prostoru Hidinih distribucija.Teorema 2.4.2 Neka je Z : R d → (S) m,N−ρ proces tipa (O) dat formalnimrazvojemc α (t)H α (m)(2.61)Z(t) = ∑ α∈Igde su c α : R d → R N merljive funkcije iz L 1 (R d ) i neka postoji p ∈ N 0 takoda je∫‖Z(t)‖ −ρ,−p dt = ∑ α! 1−ρ |c α (t)| 2 L 1 (R d ) (2N)−pα < ∞. (2.62)R d αTada je Z ∈ L 1 (R d , (S) m,N−ρ ), odnosno Z je Pettis-integrabilan proces, i pritome važi∫(S) ∗ Z(t)dt = ∑ (∫ )c α (t)dt H α (m) . (2.63)R d α R dDokaz: Neka je φ = ∑ α a αH (m)α∫∫|〈Z(t), φ〉|dt = | ∑R d R d α∈ (S) m,Nρα!a α c α (t)|dt ≤ ∑ αproizvoljno. Tada jeα!|a α ||c α | L 1 (R d )√ ∑≤αα! 1+ρ a 2 α(2N) pα √ ∑αα! 1−ρ |c α | 2 L 1 (R d ) (2N)−pα < ∞odakle sledi da je Z(t) zaista (S) ∗ -integrabilan. Takod¯e važi∫∫〈(S)∫R ∗ Z(t)dt, φ〉 = 〈Z(t)dt, φ〉 = α!a α c α (t)dtd R d= ∑ α= 〈 ∑ αα!a α∫R d c α (t)dtR d ∑(∫ )c α (t)dt H α(m) , φ〉.R dodakle sledi tvrd¯enje. □Teoreme o ekspanziji procesa tipa (I) predstavljaće uopštenje ekspanzijePettis-integrabilnih procesa tipa (O) u smislu da će koeficijenti razvoja c α (t)u (2.61) biti uopštene funkcije prostora A ′ .α
2.4 Tipovi uopštenih stohastičkih procesa 592.4.2 Ekspanzija procesa tipa (I)U ovom delu radimo sa jednodimenzionalnim slučajem d = 1. Pretpostavimojednostavnosti radi da je skup indeksa I leksikografski ured¯en u rastućemporetku. To se može uraditi npr. na sledeći način: neka je za proizvoljanmultiindeks α = (α 1 , α 2 , . . .) njegova dužina |α| = α 1 + α 2 + · · · , indeksIndex(α) = max{k ∈ N : α k ≠ 0} i n(α) broj nenula elemenata u multiindeksutj. n(α) = Card{k ∈ N : α k ≠ 0}. Tada uvodimo poredak da jeα < β ako i samo ako je |α| < |β| i Index(α) < Index(β) i n(α) < n(β).Označimo sa J skup I sa tim ured¯enjem, a sa α j označimo j-ti po redu multiindeksiz skupa J, j ∈ N i uvedimo konvenciju da umesto ∑ α i ∈J pišemo ∑ ∞i=1 .Posmatrajmo uopštene stohastičke procese tipa (I) kao elemente prostoraA ∗ = L(A, (S) −1 ) (2.64)gde je A test-prostor Zemanianovih funkcija. Elemente prostoraA ∗ k = L(A k , (S) −1 ) (2.65)nazivamo procesima tipa (I) R-reda k. Važi da L ∈ A ∗ k = L(A k, (S) −1 ) akkopostoji k 0 ∈ N tako da L ∈ L(A k , (S −k0 ) −1 ) koji je Banachov sa dualnomnormom‖L‖ ∗ −k = sup {‖L(g)‖ −1,−k0 : g ∈ A k , ‖g‖ k ≤ 1} .Tada je A ′ k ⊆ A∗ k , i ‖f‖∗ −k = ‖f‖ −k ako je f ∈ A −k , i imamo lanac neprekidnihinkluzija(L 2 (I)) ∗ = A ∗ 0 ⊆ A ∗ 1 ⊆ · · · ⊆ A ∗ k ⊆ A ∗ = ⋃k∈N 0A ∗ k.Podsetimo se da funkcije ψ k koje su karakteristični vektori operatora Rčine ortonormiranu bazu prostora L 2 (I), a funkcije (2N) kα 2 H α čine potpunortonormiran sistem u Hilbertovom prostoru (S −k ) −1 .Definicija 2.4.7 Neka je Y ∞ skup procesa tipa (I) koji su oblikaΦ(ω, t) =m∑a α j(ω)ψ j (t), ω ∈ Ω, t ∈ I, a α j ∈ (S) −1 , j ≤ m. (2.66)j=1Dakle, svako a α jJasno, za skupima svoje razlaganje a α j(ω) = ∑ ∞k=1 c j,kH α k(ω), c j,k ∈ R.S = {f ∈ L 2 (I) : f =m∑b j ψ j (t), b j ∈ R} (2.67)j=1
60 Uopšteni stohastički procesivaži S ⊆ Y ∞ . Takod¯e važi da je Y ∞ podprostor od A ∗ k .Označimo sa Y −k kompletiranje skupa Y ∞ u A ∗ k u odnosu na normu‖ · ‖ ∗ −k , k ∈ N. Tada se slično kao u [23] može pokazati da je A −k pravipodprostor od Y −k , kao i da je Y −k pravi podprostor od A ∗ k .Označimo u narednom delu sa [·, ·] dejstvo elementa iz L(A, (S) −1 ) naelement iz A, a sa 〈·, ·〉 klasično dualno sparivanje elemenata iz A ′ i A.Definicija 2.4.8 Neka je {f n } n∈N niz u A ′ i neka je {θ α j} j∈N niz u (S) −1 .Tada je∞∑f j ⊗ θ α jj=1j=1proces tipa (I) u A ∗ definisan sa[∑ ∞]m∑f j ⊗ θ α j(ω), ϕ = lim 〈f j , ϕ〉θ α j(ω), ϕ ∈ A (2.68)m→∞pod uslovom da limes na desnoj strani postoji u (S) −1 za svako ϕ ∈ A.j=1Primetimo da desna strana od (2.68) konvergira u (S) −1 ako i samo ako konvergirapo ‖ · ‖ −1,−k0 za neko k 0 ∈ N 0 .Naredne teoreme predstavljaju ekspanziju procesa tipa (I).Teorema 2.4.3 Neka je Φ ∈ A ∗ . Tada Φ ∈ A ∗ k , k ∈ N 0 ako i samo ako semože predstaviti u oblikuΦ =∞∑f j ⊗ H α j, f j ∈ A −k za sve j ∈ N (2.69)j=1i ako postoji k 0 ∈ N 0 tako da je za sve ϕ ∈ A k∞∑|〈f j , ϕ〉| 2 (2N) −k 0α j < ∞. (2.70)j=1Dokaz: Fiksirajmo k ∈ N 0 . Neka je Φ ∈ A ∗ k = L(A k, (S) −1 ). To značida postoji k 0 ∈ N 0 tako da Φ ∈ L(A k , (S −k0 ) −1 ). Preslikavanje f j : A k → Rdato sa ϕ ↦→ ([Φ, ϕ]|H α j) −1,−k0je linearno i neprekidno za svako fiksiranoH α j, to jest, f j ∈ A ′ k = A −k za sve j ∈ N. Dakle,〈f j , ϕ〉 = ([Φ, ϕ]|H α j) −1,−k0, ϕ ∈ A k , j ∈ N.
2.4 Tipovi uopštenih stohastičkih procesa 61Element [Φ, ϕ] ∈ (S −k0 ) −1 ima razlaganje∞∑[Φ, ϕ] = ([Φ, ϕ]|H α j) −1,−k0H α j. (2.71)j=1Red na desnoj strani relacije (2.71) konvergira ako i samo ako je∞∑∣∣∣∣2∞∑∣([Φ, ϕ]|H α j) −1,−k0 (2N)−k 0 α j = |〈f j , ϕ〉| 2 (2N) −k 0α j < ∞ (2.72)j=1što pokazuje (2.70). Dalje, (2.71) je po definiciji 2.4.8 jednako sa[∞∑∞]∑[Φ, ϕ] = 〈f j , ϕ〉H α j = f j ⊗ H α j, ϕj=1odakle sledi traženo razlaganje (2.69).Obratno, neka je Φ = ∑ ∞j=1 f j⊗H α j, gde su f j ∈ A −k i neka je uslov (2.70)zadovoljen za svako ϕ ∈ A k . Kako je Φ ∈ A ∗ , sledi da je Φ ∈ L(A k , (S −k0 ) −1 )za neko k 0 ∈ N 0 . Bez ograničenja opštosti možemo pretpostaviti da je ovok 0 isto kao ono iz uslova (2.70). Sledi da [Φ, ϕ] ∈ (S −k0 ) −1 ima svoj razvoj∞∑∞∑ ∞∑[Φ, ϕ] = ([Φ, ϕ]|H α j) −1,−k0 H α j = ([ f k ⊗ H α k, ϕ]|H α j) −1,−k0 H α j=j=1j=1j=1k=1∞∑ ∞∑( 〈f k , ϕ〉H α k|H α j) −1,−k0 H α j =j=1k=1j=1∞∑〈f j , ϕ〉(2N) −k 0α j H α j, ϕ ∈ Aj=1(2.73)gde smo u poslednjem koraku koristili ortogonalnost baze H α j. Niz parcijalnihsumam∑Φ m = f j ⊗ H α jje Cauchyjev u L(A k , (S −k0 ) −1 ) jer je za proizvoljne m > nm∑‖[Φ m , ϕ] − [Φ n , ϕ]‖ 2 −1,−k 0= |〈f j , ϕ〉| 2 (2N) −k 0α j< εj=1j=n+1ako biramo n, m dovoljno veliko. Odavde sledi da je niz Φ m Cauchyjev i uA ∗ k . Njegova granična vrednost Φ 0 je takod¯e u A ∗ k , pa ima svoj razvoj∞∑Φ 0 = ˜f j ⊗ H α j.j=1
62 Uopšteni stohastički procesiOstaje jedino da se dokaže da je Φ 0 = Φ. Kako je〈 ˜f j , ϕ〉 − 〈f j , ϕ〉 = ([Φ 0 , ϕ]|H α j) −1,−k0 − ([Φ, ϕ]|H α j) −1,−k0= ([ lim Φ m, ϕ]|H α j) −1,−k0 − ([Φ, ϕ]|H α j) −1,−k0 = lim ([Φ m − Φ, ϕ]|H α j) −1,−k0m→∞ m→∞= lim ([∑ ∞ ∞∑f j ⊗ H α j, ϕ]|H α j) −1,−k0 = lim |〈f j , ϕ〉| 2 (2N) −k 0α j = 0m→∞ m→∞j=m+1j=m+1(2.74)za svako ϕ ∈ A k , sledi da je ˜f j = f j za sve j ∈ N.□Lema 2.4.1 Neka je Φ ∈ A ∗ k proces tipa (I) dat ekspanzijom Φ = ∑ ∞i=1 f i ⊗H α i, f i ∈ A −k , i ∈ N. Tada je uslov da postoji p ≥ 0 za koje je∞∑|〈f i , ϕ〉| 2 (2N) −pαi < ∞ (2.75)i=1za sve ϕ ∈ A k ekvivalentan uslovu da postoji neko q ≥ 0 tako da je∞∑‖f i ‖ 2 −k(2N) −qαi < ∞. (2.76)i=1Dokaz: Na osnovu Cauchy-Schwartzove nejednakosti, jasno je da iz uslova(2.76) sledi uslov (2.75). Obratno, neka važi (2.75), i posmatrajmo funkcijup : A k → R definisanu sap(ϕ) =∞∑|〈f i , ϕ〉| 2 (2N) −pαi . (2.77)i=1Prema uslovu (2.75) je preslikavanje p dobro definisano. Takod¯e važi da je pkonveksna, poluneprekidna s donje strane, pa sledi da je i ograničena u nekojokolini nule u prostoru A k . Dakle, postoji M > 0 tako da jeodnosno za svako j ∈ N važiOdavde sledi da je za svako j ∈ N,p(ϕ) ≤ M‖ϕ‖ 2 k, (2.78)|〈f j , ϕ〉| 2 (2N) −pαj ≤ M‖ϕ‖ 2 k. (2.79)‖f j ‖ 2 −k(2N) −pαj ≤ M. (2.80)
2.4 Tipovi uopštenih stohastičkih procesa 63Sada je za q = p + 2,∞∑‖f j ‖ 2 −k(2N) −qαjj=1što pokazuje traženo tvrd¯enje.≤ M□∞∑(2N) −2αj < ∞, (2.81)j=1Teorema 2.4.4 Neka je Φ ∈ A ∗ . Tada Φ ∈ Y −k , k ∈ N 0 ako i samo ako semože predstaviti u oblikuΦ =∞∑f j ⊗ H α j, f j ∈ A −k za sve j ∈ N, (2.82)j=1ako postoji k 0 ∈ N 0 tako da je za sve ϕ ∈ A k∞∑|〈f j , ϕ〉| 2 (2N) −k 0α j < ∞ (2.83)j=1i ako je nizCauchyjev u Y −k .Φ m =m∑f j ⊗ H α j, m ∈ N (2.84)j=1Dokaz: Neka je k ∈ N 0 fiksirano i neka Φ ∈ Y −k . Kako je Y −k ⊂ A ∗ k ,po prethodnoj teoremi sledi da je oblika Φ = ∑ ∞j=1 f j ⊗ H α j, gde su f j ∈A −k , j ∈ N i postoji k 0 ∈ N tako da je ∑ ∞j=1 |〈f j, ϕ〉| 2 (2N) −k 0α j < ∞ za sveϕ ∈ A k . Ostaje da se pokaže da je niz Φ m definisan sa (2.84) Cauchyjev.Pokažimo prvo da je Φ m ∈ Y −k , za sve m ∈ N. Kako je skup S definisan u(2.67) gust u prostoru A −k , sledi da za svako f j ∈ A −k postoji niz {fj n } n∈Nu S tako da ‖fj n − f j ‖ −k → 0, kad n → ∞. Kako su fj n ∈ S, oni su oblikafjn = ∑ nk=1 b j,kψ k (t), j ∈ N 0 . DefinišimoΦ n m ==m∑fj n H α j, n, m, ∈ Nj=1(n∑ ∑ m)b j,k H α j ψ k (t).k=1 j=1Jasno, Φ n m ∈ Y ∞ za sve n, m ∈ N jer su koeficijenti ∑ mj=1 b j,kH α j ∈ (S) −1 .Takod¯e je Φ m ∈ A ∗ k , odakle sledi da postoji k 0 ∈ N tako da je Φ m ∈
64 Uopšteni stohastički procesiL(A k , (S −k0 ) −1 ). Bez ograničenja opštosti možemo pretpostaviti da je ovok 0 isto ono kao iz uslova (2.83) – inače biramo manji od njih. Sada jem‖Φ m − Φ n m‖ ∗,2−k = ‖ ∑f j ⊗ H α j −j=1m∑j=1f n j H α j‖ ∗,2−k⎧[⎨m]∥ ⎫∑m∑ ∥∥∥∥2⎬= supf⎩∥j ⊗ H α j − fj n H α j, ϕ : ϕ ∈ A k , ‖ϕ‖ k ≤ 1⎭j=1j=1−1,−k{0∑ m∣= sup ∣〈f j , ϕ〉 − 〈fj n , ϕ〉 ∣ }2 ‖H α j‖ 2 −1,−k 0ϕ ∈ A k , ‖ϕ‖ k ≤ 1j=1{∑ m∣= sup ∣〈f j − fj n , ϕ〉 ∣ }2 (2N) −k 0α j : ϕ ∈ A k , ‖ϕ‖ k ≤ 1≤j=1m∑(2N) −k 0α j ‖f j − fj n ‖ 2 −k → 0, n → ∞.j=1Dakle, Φ m ∈ Y −k za sve m ∈ N.Sada ćemo pokazati da je niz {Φ m } m Cauchyjev u Y −k . Za Φ ∈ Y −k postojiniz {T j } j∈N u Y ∞ tako da je ‖Φ − T j ‖ ∗ −k → 0, kad j → ∞. U stvari stavilismo da je T j = ∑ ∞n=1 f j n H α n, i fj n = (T j |H α n) −1,−k0 . Tada je∫∞∑‖T j ‖ 2 −1,−k 0dt = ‖fj n ‖ 2 L 2 (I) (2N)−k 0α n . (2.85)Sada je‖T j − Φ m ‖ ∗ 2−k ≤supI+ sup{ m∑n=1n=1∣∣〈fj n − f j , ϕ〉 ∣ }2 (2N) −k 0α n : ϕ ∈ A k , ‖ϕ‖ k ≤ 1{ ∞∑n=m+1∣∣〈fj n , ϕ〉 ∣ }2 (2N) −k 0α n : ϕ ∈ A k , ‖ϕ‖ k ≤ 1{∑ ∞∣≤sup ∣〈fj n − f j , ϕ〉 ∣ }2 (2N) −k 0α n : ϕ ∈ A k , ‖ϕ‖ k ≤ 1 ++n=1∞∑n=m+1{ ∣∣sup 〈fj n , ϕ〉 ∣ }2 (2N) −k 0α n : ϕ ∈ A k , ‖ϕ‖ k ≤ 1= ‖T j − Φ‖ ∗ 2−k +∞∑n=m+1‖f n j ‖ 2 L 2 (I) (2N)−k 0α n (2.86)+
2.4 Tipovi uopštenih stohastičkih procesa 65Dakle,‖Φ − Φ m ‖ ∗ −k 2 ≤ ‖Φ − T j ‖ ∗ −k 2 + ‖T j − Φ m ‖ ∗ −k2≤ ‖Φ − T j ‖ ∗ −k 2 + √ ‖Tj − Φ‖ ∗ 2−k +∞∑n=m+1‖f n j ‖2 L 2 (I) (2N)−k 0α n (2.87)Prvi i drugi član u (2.87) teže nuli kad j → ∞, jer niz {T j } konvergira ka Φu Y −k . Treći član teži nuli kao ostatak konvergentnog reda iz (2.85). Dakle,‖Φ−Φ m ‖ ∗ −k 2 → 0, m → ∞, odnosno niz {Φ m} m∈N konvergira ka Φ u prostoruY −k . Dakle, niz je i Cauchyjev.Obratno, neka su Φ i Φ m definisani kao u (2.82) i (2.84), respektivno.Pokazaćemo da je Φ ∈ Y −k . Kako je {Φ m } m∈N Cauchyjev niz u kompletnomprostoru Y −k , on je i konvergentan, te označimo sa Φ 0 ∈ Y −k njegovugraničnu vrednost. Tada Φ 0 , prema prethodno dokazanom pravcu teoreme,mora biti oblika Φ 0 = ∑ ∞ ˜f j=1 j ⊗ H α j. Dalja ideja je jednostavna i dobropoznata: potrebno je pokazati da je Φ 0 = Φ, to jest da je ˜f j = f j za svej ∈ N. Ovaj deo dokaza je potpuno isti kao i u teoremi 2.4.4. □Saglasnost ekspanzije procesa tipa (O) i tipa (I)Neka je U slučajan proces tipa (O) dat ekspanzijom∞∑U(t, ω) = a i (t)H α i(ω),i=1takav da su a i (t) ∈ L 1 loc (I), i ∈ N. Tada prema (2.56) njemu odgovara procestipa (I), u oznaci Ũ tako da je∫ ∞∑∞∑(∫)[Ũ, ϕ](ω) = a i (t)H α i(ω)ϕ(t)dt = a i (t)ϕ(t)dt H α i(ω)R i=1i=1 R∞∑= 〈ã i , ϕ〉H α i(ω)gde je ã i ∈ S ′ (R) uopštena funkcija koja odgovara funkciji a i (t) ∈ L 1 loc (I).Dakle, proces Ũ ima razvoj ∞∑Ũ = ã i ⊗ H α ii=1što znači da su ekspanzije procesa tipa (I) konzistente sa ekspanzijom procesatipa (O).i=1
66 Uopšteni stohastički procesiPrimer 2.4.1 Neka je R = − d2dx 2 +x 2 +1 i neka je I = R. Tada je A = S(R),A ′ = S ′ (R) i ψ k (t) = ξ k (t) gde su ξ k ermitske funkcije.1. Poznato je da jednoparametarski singularni beli šum kao proces tipa(O) ima razlaganje∞∑W (t) = ξ k (t)H εk .k=1Funkciji ξ k (t) ∈ S(R) ⊆ L 2 (R) odgovara uopštena funkcija ˜ξ k ∈ S ′ (R)definisana sa 〈˜ξ k , ϕ〉 = ∫ ξ R k(t)ϕ(t)dt. Ako je ϕ ∈ S(R) data razvojemϕ(t) = ∑ ∞i=1 a iξ i (t), tada je 〈˜ξ k , ϕ〉 = a k . Tada je beli šum ˜W kaoproces tipa (I) dat ekspanzijom˜W =i pri tome važi da jeza p = 0.∞∑˜ξ k ⊗ H εk ∈ L(S(R), (S) −1 )k=1∞∑∣∣〈˜ξ k , ϕ〉 ∣ 2 (2N) −pε k=k=1∞∑|a k | 2 (2k) −p < ∞,2. Fiksirajmo k > 5 i t 12 1, t 2 , t 3 , . . . ∈ R takve da je t 1 ≤ t 2 ≤ t 3 ≤↗ ∞.Poznato je da za k > 5 Diracova delta distribucija δ 12 t jpripada prostoruA −k = S −k (R). Sa∞∑δ tj ⊗ H α jj=1je dat slučajan proces tipa (I) koji nije tipa (O). Proverimo još uslov(2.70); neka je ϕ ∈ S(R) proizvoljno dato razvojem ϕ = ∑ ∞i=1 a iξ i .Tada je∞∑∣ 〈δtj , ϕ〉 ∣ 2 (2N) −k 0α j =j=1j=1i=1k=1∞∑|ϕ(t j )| 2 (2N) −k 0α j =j=1∞∑ ∞∑= | a i ξ i (t j )| 2 (2N) −k 0α j≤≤ C∞∑(2N) −k 0α jj=1∞∑i=1∞∑∞∑(2N) −k 0α j |j=1∑ ∞|a i | 2 i − 1 6 ≤ C (2N) −k 0α jj=1za neku konstantu C > 0, i ako biramo k 0 > 1.i=1∑ ∞i=1a i O(i − 112 )|2|a i | 2 < ∞
2.4 Tipovi uopštenih stohastičkih procesa 67Primer 2.4.2 Neka je R = − d2dx 2 + x 2 + 1 i neka je I = R. Tada je A =S(R), A ′ = S ′ (R) i ψ k (t) = ξ k (t) gde su ξ k ermitske funkcije i λ k = 2kkarakteristični koreni operatora R.1. Neka su b n : Ω → R merljive funkcije iz (S) −1 takve da postoji k 0 ∈ N 0 ,i da za svako ω ∈ Ω postoji k = k(ω) tako da jeTada je sa(ω, ϕ) ↦→∞∑n=1‖b n (ω)‖ 2 −1,−k 0λ −2kn < ∞.∞∑a n b n (ω), ϕ =n=1∞∑a i ξ i ∈ S(R)definisan proces tipa (I) i (U) na S(R). Naime važi da je‖ ∑ ∞n=1 a nb n (ω)‖ 2 −1,−k 0≤ ∑ ∞n=1 |a n| 2 λ 2kn · ∑∞n=1 ‖b n(ω)‖ 2 −1,−k 0λ −2kn < ∞.2. Neka su u okviru prethodnog primeran∑b n (ω) = H α j(ω), n ∈ N 0 .j=1Tada je ∑ ∞n=1 a nb n (ω) = ∑ {∞ ∑ ∞ 1, j ≤ nn=1 j=1 a nc n,j H α j, gde je c n,j =0, j > n .Jasno, ∑ ∞n=1 a nb n (ω) ∈ (S) −1 jer je ∑ ∞j=1 |∑ ∞n=1 a nc n,j | 2 (2N) −k 0α j ≤∑ ∞n=1 |a n| 2 · ∑∞j=1 (2N)−k 0α j < ∞, ako biramo k 0 > 1.i=1Ekspanzija procesa tipa (I) sa vrednošću u exp(S) −1Analogno prethodnim teoremama koje su se odnosile na razlaganje procesatipa (I) sa vrednošću u Kondratievom prostoru (S) −1 , mogu se posmatrati iprocesi tipa (I) koji primaju vrednosti u nekom drugom prostoru uopštenihstohastičkih funkcija. Posmatrajmo na primer prostor exp(S) −1 koji je širiod Kondratievog prostora, dakle i klasa procesa tipa (I) sa skupom vrednostiexp(S) −1 je mnogo šira.Neka su (uz malu zloupotrebu oznaka) u ovom deluA ∗ = L(A, exp(S) −1 ), A ∗ k = L(A k , exp(S) −1 )procesi tipa (I) i procesi reda k, respektivno. Dalje, neka su i svi ostalipojmovi definisani analogno kao kod procesa tipa (I) sa vrednostima u Kondratievomprostoru - praktično, svuda gde piše (S) −1 , zamenimo sa exp(S) −1 .
68 Uopšteni stohastički procesiTada važe teoreme o ekspanziji, sa istim dokazima kao teoreme 2.4.3 i2.4.4, jedina razlika je u tome što bazu prostora exp(S −k0 ) −1 čine funkcijee − k 02 (2N) αj H α j, α j ∈ J.Teorema 2.4.5 Neka je Φ ∈ A ∗ . Tada:1. Φ ∈ A ∗ k , k ∈ N 0 ako i samo ako je oblikaΦ =∞∑f j ⊗ H α j, f j ∈ A −k (2.88)j=1i ako postoji k 0 ∈ N 0 tako da je za svako ϕ ∈ A k∞∑|〈f j , ϕ〉| 2 e −k 0(2N) αj < ∞. (2.89)j=12. Φ ∈ Y −k , k ∈ N 0 ako i samo ako se može predstaviti u oblikuΦ =∞∑f j ⊗ H α j, f j ∈ A −k za sve j ∈ N 0 , (2.90)j=1ako postoji k 0 ∈ N 0 tako da je za sve ϕ ∈ A k∞∑|〈f j , ϕ〉| 2 e −k 0(2N) αj < ∞ (2.91)j=1i ako je nizCauchyjev u Y −k .Φ m =m∑f j ⊗ H α j, m ∈ N (2.92)j=1Slično kao i u lemi 2.4.1, može se pokazati da je uslov (2.89) ekvivalentanuslovu da postoji neko k 1 ≥ 0 tako da je∞∑‖f j ‖ 2 −ke −k 1(2N) αj < ∞. (2.93)j=1
2.4 Tipovi uopštenih stohastičkih procesa 692.4.3 Primene na stohastičke diferencijalne jednačineNeka je R samoadjungovani diferencijalni operator koji definiše prostor Zemaniana.Neka je P (t) = p k t k + p k−1 t k−1 + · · · + p 1 t + p 0 polinom sa realnimkoeficijentima. Dajemo dva primera stohastičkih diferencijalnih jednačinasa procesima tipa (I), u kojima figuriše diferencijalni operator P (R) koji jedefinisan kao P (R) = p k R k + p k−1 R k−1 + · · · + p 1 R + p 0 I. Za njega važi da jeP (R)ψ i = (p k R k + p k−1 R k−1 + · · · + p 1 R + p 0 I)ψ i= p k (λ i ) k ψ i + p k−1 (λ i ) k−1 ψ i + · · · + p 1 λ i ψ i + p 0 ψ i = P (λ i )ψ i .Primer 2.4.3 Posmatrajmo SDJ oblikaP (R)u = g (2.94)gde∑su u, g ∈ A ∗ procesi tipa (I). Neka su u i g dati ekspanzijom u(t, ω) =∞j=1 u j(t)⊗H α j(ω), g(t, ω) = ∑ ∞j=1 g j(t)⊗H α j(ω) redom, gde su u j , g j ∈ A ′ ,j ∈ N.Neka su u j , g j dati razvojem u j = ∑ ∞i=1 a i,jψ i , g j = ∑ ∞i=1 b i,jψ i , j ∈ N.Tada je∞∑P (R)u = P (R)u j ⊗ H α j==j=1()∞∑∞∑P (R) a i,j ψ i ⊗ H α jj=1∞∑j=1i=1∞∑a i,j P (λ i )ψ i ⊗ H α j.i=1(2.95)Kako je svaki proces tipa (I) jedinstveno odred¯en svojim koeficijentima uekspanziji, za rešavanje jednačine možemo primeniti metod izjednačavanjakoeficijenata. Iz (2.94) i (2.95) sledi da je∞∑a i,j P (λ i )ψ i = g j , za sve j ∈ N. (2.96)i=1Ako sada ponovo izjednačimo koeficijente razvoja u A ′ , dobijamo sistema i,j P (λ i ) = b i,j , za sve i, j ∈ N. (2.97)Prvi slučaj: ako je P (λ i ) ≠ 0 za sve i ∈ N, tada imamoa i,j =b i,jP (λ i )za sve i, j ∈ N
70 Uopšteni stohastički procesipa je rešenje jednačine dato sa(∞∑ ∞)∑ b i,ju =P (λ i ) ψ ij=1i=1⊗ H α j. (2.98)U ovom slučaju rešenje postoji i jedinstveno je. Naime, ako je P (λ i ) ≠ 0,za svako i ∈ N, tada postoji konstanta C > 0 takva da je P (λ i ) ≥ C, za svei ∈ N. Tada je(∞∑ ∑ ∞j=1i=1b i,jP (λ i ) ψ i) 2(2N) −pαj ≤ 1 ∞(∑ ∞) 2∑bC 2 i,j ψ i (2N) −pαj < ∞,za neko p > 0 jer g ∈ A ∗ .Drugi slučaj: ako je P (λ i ) = 0 za neke i ∈ N, recimo za λ i1 , . . . λ im . Tadarešenje postoji ako i samo ako su b i1 ,j = · · · = b im,j = 0. Rešenje u ovomslučaju nije jedinstveno, a koeficijenti rešenja u dati su formulomu j =∞∑i=1P (λ i )≠0j=1b i,jP (λ i ) ψ i +i=1m∑c k ψ ik (2.99)k=1gde su c k , k = 1, 2, . . . m proizvoljni realni brojevi.Primer 2.4.4 Neka je R = − d2 + x 2 + 1 i neka su bdx 2n merljive funkcijeiz (S) −1 kao u primeru 2.4.2. Označimo sa F : Ω × S(R) → (S) −1 procesdefinisan sa∞∑∞∑(ω, ϕ) ↦→ a n b n (ω), ϕ = a i ξ i ∈ S(R)n=1kao što je opisan u primeru 2.4.2.Tada Cauchyjev problem∂∂ti=1u(t, x, ω) = P (R)u(t, x, ω)u(0, x, ω) = F (x, ω)(2.100)gde su x, t ∈ R, ω ∈ Ω ima slabo rešenje dato izrazom∞∑u(t, x, ω) = e P (2n)t b n (ω)ξ n (x). (2.101)Dokaz: Kako jen=1∞∂∂t u(t, x, ω) = ∑P (2n)e P (2n)t b n (ω)ξ n (x),n=1
2.4 Tipovi uopštenih stohastičkih procesa 71i s druge straneP (R)u(t, x, ω) =∞∑e P (2n)t b n (ω)P (R)ξ n (x) =n=1∞∑e P (2n)t b n (ω)P (2n)ξ n (x)n=1sledi da funkcija data sa (2.101) zaista zadovoljava jednačinu. Takod¯e jeu(0, x, ω) =∞∑b n (ω)ξ n (x) = F (x, ω),n=1dakle zadovoljen je i početni uslov. Za proizvoljno ϕ = ∑ ∞i=1 a iξ i ∈ S(R) je〈F (x, ω), ϕ〉 = ∑ ∞n=1 a nb n (ω) = F (ω, ϕ) i 〈u(t, x, ω), ϕ〉 = u(t, ϕ, ω).Primedba: funkcija u predstavlja kombinaciju procesa tipa (O) i tipa (I) -ona je tačkasto definisana po promenljivoj t, odnosno svakom t ∈ R dodeljujeproces tipa (I).Za svako fiksirano ω 0 ∈ Ω je u(t, x, ω 0 ) ∈ C 1 (R, S ′ (R)). Za fiksiranot 0 ∈ R je u(t 0 , ϕ, ω) uopšten slučajan proces tipa (U) i (I). Za fiksiranet 0 ∈ R, ϕ ∈ S(R) je u(t 0 , ϕ 0 , ω) uopštena slučajna promenljiva iz (S) −1 .
72 Uopšteni stohastički procesi
Glava 3Wickov proizvodPoznato je da u opštem slučaju nije moguće definisati množenje uopštenihfunkcija koje predstavlja proširenje klasičnog množenja realnih brojeva. Problemmnoženja uopštenih stohastičkih funkcija se u ovoj tezi prevazilazi uvod¯enjemWickovog proizvoda, i u ovoj glavi su prezentovana osnovna pravila Wickovogračuna; zapravo pravila klasičnog diferencijalnog računa sa proizvodominterpretiranim kao Wickov proizvod, zamenjuju Itôvu formulu i Itôv diferencijalniračun za klasične stohastičke procese.U prvom delu ove glave je predstavljen Wickov proizvod procesa tipa (O)kao što je to urad¯eno u [17] i u ostalim radovima. Drugi deo glave sadržioriginalne rezultate u kojima je definisan Wickov proizvod i za procese tipa(I) koji na prirodan način predstavlja uopštenje Wickovog proizvoda procesatipa (O).3.1 Wickov proizvod u prostoru Kondratievai u exp(S) −1U prethodnom delu definisali smo singularni beli šum kao W (t) = I 1 (δ t ).Sada se postavlja pitanje šta je kvadrat takvog procesa W (t) 2 ili npr. e W (t) ?Poznato je da u opštem slučaju nije moguće definisati ”tačkasto ” množenjeuopštenih funkcija, niti nelinearne funkcije po njima. Formalno bi biloW (t) 2 = limh→∞〈·, 1 h 2 χ2 [t,t+h]〉.Ali, E µ (〈·, 1 h 2 χ2 [t,t+h]〉) = 1 → ∞, pa ne možemo očekivati konvergenciju čakhni u (oslabljenoj) topologiji prostora Kondratieva. Jedan od načina da seovaj problem prevazid¯e jeste uvod¯enje tzv. Wickovog proizvoda i Wickove
74 Wickov proizvodverzije analitičkih funkcija. Wickov proizvod je na prirodan način povezansa Itôvim integralom, kao i sa pojmom renormalizacije u kvantnoj fizici.Posmatrajmo izraz〈·, 1 h 2 χ2 [t,t+h]〉 − 1 h = 〈·, 1 h χ [t,t+h]〉〈·, 1 h χ [t,t+h]〉 − ( 1 h χ [t,t+h]| 1 h χ [t,t+h])= I 2 ( 1 h χ [t,t+h] ˆ⊗ 1 h χ [t,t+h]).Veličina 1 h χ [t,t+h] ˆ⊗ 1 h χ [t,t+h] ne konvergira u L 2 (R 2 ), ali konvergira ka δ t ˆ⊗δ t uprostoru S ′ (R) ˆ⊗S ′ (R). Dakle formalno možemo očekivati da ćemo imatiW (t) 2 = I 2 (δ t ˆ⊗δ t ).Formalno ćemo izraz ( dB(t)) 2dt −1zvati renormalizacijom vrednosti ( dB(t)) 2dt dt .Renormalizacija na neki način predstavlja izdvajanje glavne vrednosti beskonačnosti.Definicija 3.1.1 Wickov proizvod ♦ elemenata F = ∑ α a αH α(m)G = ∑ β b βH (m)βiz Kondratievog prostora (S) m,N−1 je definisan saiF ♦G = ∑ α,β(a α |b β )H (m)α+β(3.1)gde su koeficijenti a α , b β iz R N , a (a α |b β ) je njihov standardni skalarni proizvodu R N .U [17] je pokazano da Wickov proizvod ne zavisi od izbora bazičnih elemenataprostora (L) 2,m,N . Kondratievi prostori su zatvoreni u odnosu na Wickovproizvod, odnosno važi:Teorema 3.1.11. Ako F, G ∈ (S) m,N1 , onda F ♦G ∈ (S) m,11 .2. Ako F, G ∈ (S) m,N−1 , onda F ♦G ∈ (S) m,1−1 .3. Ako F, G ∈ (S) N , onda F ♦G ∈ (S).4. Ako F, G ∈ (S) ∗,N , onda F ♦G ∈ (S) ∗,1 .Primetimo da dimenzija N nakon primene Wickovog proizvoda prelazi u dimenzijujednaku jedinici, što je posledica definicije (3.1) u kojoj se koeficijentimnože skalarnim proizvodom.
3.1 Wickov proizvod u prostoru Kondratieva i u exp(S) −1 75Definicija 3.1.2 Wickov proizvod elemenata F = ∑ α a αH α(m)iz prostora exp(S) m,N−1 je definisan saF ♦G = ∑ α,βi G = ∑ β b βH (m)β(a α |b β )H (m)α+β(3.2)gde su koeficijenti a α , b β iz R N , a (a α |b β ) je njihov standardni skalarni proizvodu R N .Teorema 3.1.21. Ako F, G ∈ exp(S) m,N1 , onda F ♦G ∈ exp(S) m,11 .2. Ako F, G ∈ exp(S) m,N−1 , onda F ♦G ∈ exp(S) m,1−1 .3. Ako F, G ∈ exp(S) N , onda F ♦G ∈ exp(S).4. Ako F, G ∈ exp(S) ∗,N , onda F ♦G ∈ exp(S) ∗,1 .Dokaz: Pretpostavimo da je N = 1, i dokažimo npr. osobinu 2, a ostalese analogno pokazuju. Neka su F = ∑ α a αH α(m) i G = ∑ β b βH (m)βiz prostoraexp(S) m −1. To znači da postoje brojevi q 1 i q 2 takvi da je∑∑a 2 αe −q 1(2N) α < ∞ i b 2 βe −q 2(2N) α < ∞.αWickov proizvod možemo zapisati i kaoF ♦G = ∑ γZa q = q 1 + q 2 + k imamo da jec γ H (m)γ , gde je c γ = ∑βα+β=γa α b β .∑e −q(2N)γ c 2 γ = ∑γγ≤ ∑ γ= ∑ γ( ) 2∑e −k(2N)γ e −(q 1+q 2 )(2N) γ a α b βα+β=γe −k(2N)γ e −(q 1+q 2 )(2N) γ ( ∑) ( ) ∑a 2 α b 2 βα+β=γ α+β=γ( ) ( ∑∑e −k(2N)γ a 2 αe −q 1(2N) γα+β=γα+β=γb 2 βe −q 2(2N) γ )≤ ∑ γe −k(2N)γ ( ∑αa 2 αe −q 1(2N) α ) ( ∑βb 2 βe −q 2(2N) β )< ∞,ako biramo da je k > 0.□
76 Wickov proizvodTeorema 3.1.3 Za Wickov proizvod važi komutativnost, asocijativnost i distributivnostu odnosu na sabiranje.Definicija 3.1.3 Wickov stepen elementa F ∈ (S) −1 je definisan induktivnosaF ♦0 = 1F ♦k = F ♦F ♦(k−1) (3.3), k = 1, 2, . . .Neka je p n (x) = ∑ nk=0 a kx k polinom. Wickova verzija polinoma p n (x) jepreslikavanje p ♦ : (S) −1 → (S) −1 dato san∑p ♦ (F ) = a k F ♦k . (3.4)k=0Teorema 3.1.4 Neka je d = m = N = 1. Pretpostavimo da su elementif, g ∈ (L) 2 dati ekspanzijom preko Itôvih integrala∞∑∞∑f = I i (f i ), g = I j (g j )i=0takvi da f♦g ∈ (L) 2 . Tada jef♦g =∞∑n=0,i+j=nj=0I n (f i ˆ⊗g j ). (3.5)Dokaz: Neka je f(ω) = ∑ ∞i=0 I i(f i ) = ∑ ∞∫i=0fR i i dB ⊗i = ∑ α a αH α (ω), ig(ω) = ∑ ∞j=0 I j(g j ) = ∑ ∞∫j=0gR j j dB ⊗j = ∑ β b βH β (ω). Po definiciji Wickovogproizvoda je (f♦g)(ω) = ∑ α,β a αb β H α+β (ω), a po relaciji (2.26) je∫ˆ⊗βH α+β (ω) = ˆ⊗ξβ dB⊗|α+β| . (3.6)ξ ˆ⊗ααR |α+β|Kombinujući ovo sa (2.29) dobijamo∞∑ ∑(∫(f♦g)(ω) = a α b β=n=0 |α+β|=n⎛∞∑∫⎝ ∑ ∑n=0 R n i+j=n |α|=iξ ˆ⊗ααR n∞∑∫ ( )∑=f i ˆ⊗g jn=0 R n i+j=n∞∑= I n (f i ˆ⊗g j )n=0,i+j=n)ˆ⊗β ˆ⊗ξβ dB⊗na α ξ ˆ⊗α ˆ⊗ ∑α|β|=jdB ⊗nb β ξ ˆ⊗ββ⎞⎠ dB ⊗n
3.1 Wickov proizvod u prostoru Kondratieva i u exp(S) −1 77što je i trebalo da se dokaže.□Posledica 3.1.1 Iz prethodne teoreme sledi osobina slična FubinijevompraviluI 1 (f) ♦n = I n (f ˆ⊗n ). (3.7)Primer 3.1.1 Za singularni beli šum jeW (t) ♦n = I n (δ ˆ⊗nt ). (3.8)Primer 3.1.2 Neka je d = m = N = 1. Ako su F, G ∈ (L) 2 , tada imasmisla posmatrati i njihov ”tačkasti” proizvod definisan kao(F · G)(ω) = F (ω) · G(ω).Ako je barem jedna od funkcija F, G deterministička, npr. F = a 0 ∈ R, tadase Wickov proizvod i tačkasti proizvod poklapaju tj.Lema 3.1.1 Neka suTada jeF ♦G = F · G.F (ω) = a 0 + I 1 (f), gde je f(t) =G(ω) = b 0 + I 1 (g), gde je g(t) =∞∑a k ξ k (t) ∈ L 2 (R), ik=1∞∑b k ξ k (t) ∈ L 2 (R).k=1I 1 (f)♦I 1 (g) = I 1 (f) · I 1 (g) − (f|g). (3.9)Dokaz: Važi F (ω) = a 0 + ∑ ∞k=1 a kH εk (ω), G(ω) = b 0 + ∑ ∞k=1 b kH εk (ω).Po definiciji Wickovog proizvoda je (F ♦G)(ω) = a 0 b 0 + ∑ ∞k,l=1 a kb l H εk +ε l(ω).Koristeći poznatu osobinu Fourier-Hermiteovih polinoma da je{Hεk HH εk +ε l=εl , k ≠ lHε 2 k− 1, k = ldobijamo(F ♦G)(ω) = F (ω) · G(ω) −∞∑a k b k . (3.10)Odavde sledi I 1 (f)♦I 1 (g) = (F (ω) − a 0 )♦(G(ω) − b 0 ) = F (ω)♦G(ω) −a 0 G(ω)−b 0 F (ω)+a 0 b 0 = F (ω)·G(ω)− ∑ ∞k=1 a kb k −a 0 G(ω)−b 0 F (ω)+a 0 b 0 =(F (ω) − a 0 ) · (G(ω) − b 0 ) − ∑ ∞k=1 a kb k = I 1 (f) · I 1 (g) − ∫ f(t)g(t)dt, gde smoRu poslednjem koraku koristili ortonormiranost ermitskih funkcija. □k=1
78 Wickov proizvodPrimer 3.1.31. Za f = g ∈ L 2 (R) imamoI 1 (f) 2 = I 1 (f) ♦2 + (f|f) = I 2 (f ˆ⊗ ) + |f| 2 L 2 (R) . (3.11)2. Specijalno za f = g = χ [0,t] imamoPrimetimo da B(t) ♦2 nije pozitivno.3. Za uglačani beli šum, sa |φ| = 1 jeB(t) ♦2 = B(t) 2 − t. (3.12)w(φ) ♦n = h n (w(φ)). (3.13)Naime, pošto je Wickov proizvod nezavisan od izbora baze prostora L 2 (R d ),možemo pretposatviti da je φ = η 1 . Tada je w(φ) ♦n = h 1 (〈ω, η 1 〉) ♦n =(ω) = H nε1 (ω) = h n (〈ω, η 1 〉) = h n (w(φ)).H ♦nε 1Primer 3.1.4 (Gjessing, 1993) Neka je φ ∈ S(R d ) takav da je |φ| L 2 (R d ) =1 i stavimo θ(ω) = 〈ω, φ〉. Neka je{ 1, θ(ω) ≥ 0F (ω) =0, θ(ω) < 0 .Tada je F ∈ (L) 2 , ali F ♦2 /∈ (L) 2 . Ovaj primer pokazuje da prostori (L) pnisu zatvoreni u odnosu na Wickov proizvod.Neka jeG = θ ♦2 = θ 2 − 1.Tada su F i G nezavisne slučajne promenljive, ali F ♦G ≠ F · G. Ovajprimer pokazuje da u opštem slučaju Wickov proizvod i tačkasti proizvod sene poklapaju.Teorema 3.1.5 Neka je d = m = N = 1 i 0 ≤ t 0 < t 1 < ∞, i neka jeh(ω) ∈ (L) 2 funkcija koja je F t0 -merljiva. Tada jeh♦(B(t 1 ) − B(t 0 )) = h · (B(t 1 ) − B(t 0 )). (3.14)Dokaz: Neka je funkcija h(ω) data svojom haos ekspanzijomh(ω) =∞∑I i (h i ), h i ∈ ̂L 2 (R i ), i ∈ N.i=0
3.1 Wickov proizvod u prostoru Kondratieva i u exp(S) −1 79Zbog uslova merljivosti, svaka funkcija h i mora da zadovoljavati da jeh i (x) = 0 za skoro svako x van skupa {x : x j ≤ t 0 , j = 1, 2, . . . , i}. (3.15)Kako je B(t 1 ) − B(t 0 ) = I 1 (χ [t0 ,t 1 ]), prema teoremi 3.1.4 dobijamo da jeh♦(B(t 1 ) − B(t 0 )) =Dalje, imamo da je∞∑n=0i+1=nI n (h i ˆ⊗χ [t0 ,t 1 ]) =∞∑I n+1 (h n ˆ⊗χ [t0 ,t 1 ]).(h n ˆ⊗χ [t0 ,t 1 ])(x 1 , . . . , x n+1 ) = 1 ∑n+1h n (x 1 , . . . , x k−1 , x k+1 , . . . , x n+1 )χ [t0 ,tn + 11 ](x k ).k=1(3.16)Ali zbog (3.15) imamo da je h n (x 1 , . . . , x k−1 , x k+1 , . . . , x n+1 ) = 0, čim je barjedan od argumenata veći od t 0 . S druge strane, χ [t0 ,t 1 ](x k ) = 0, ako jex k < t 0 . Dakle, (3.16) postaje(h n ˆ⊗χ [t0 ,t 1 ])(x 1 , x 2 , . . . , x n+1 ) = 1n + 1 h n(y 1 , . . . , y n )χ [t0 ,t 1 ](ỹ), (3.17)gde je ỹ = max{x 1 , x 2 , . . . , x n+1 }, a (y 1 , y 2 , . . . , y n ) je proizvoljna permutacijaelemenata skupa {x 1 , x 2 , . . . , x n+1 } \ {ỹ}. Za skoro svako (x 1 , x 2 , . . . , x n+1 )je ỹ jedinstveno. Dakle,h♦(B(t 1 ) − B(t 0 )) =∞∑∫ ∞= (n + 1)!===n=0∞∑n=0∞∑n!n=00∫ yn0∫ t1(∫ ynn! · · ·t 0 0(∫ yn0· · ·∫ y20∫ y20n=0∫ y21· · ·0 n + 1 h n(y 1 , . . . , y n )χ [t0 ,t 1 ](ỹ)dB(y 1 ) · · · dB(y n )dB(ỹ))h n (y 1 , y 2 , . . . , y n )dB(y 1 )dB(y 2 ) · · · dB(y n ) dB(ỹ)) (∫ t1h n (y 1 , y 2 , . . . , y n )dB(y 1 )dB(y 2 ) · · · dB(y n )∞∑I n (h n ) · (B(t 1 ) − B(t 0 )) = h · (B(t 1 ) − B(t 0 ))n=0t 0)dB(ỹ)što je i trebalo da se dokaže. □Wickov proizvod procesa X(t) i Y (t) koji su tipa (O) je tačkasto definisanza svako fiksirano t ∈ R d preko Wickovog proizvoda u odgovarajućem prostoruuopštenih stohastičkih funkcija: (S) −1 ili exp(S) −1 . Dakle to je procestipa (O) koji svakom elementu t ∈ R d dodeljuje element X(t)♦Y (t).
80 Wickov proizvod3.2 Skorohodov integral i Wickov računU ovom delu pretpostavićemo, jednostavnosti radi da je d = m = N = 1.Stohastički proces shvatamo u smislu tipa (O) kao preslikavanje R → (S) ∗ .Glavni rezultat je dat izrazom ∫ X(t)δB(t) = ∫ R (S)∗ X(t)♦W (t)dt, gdeRje integral na levoj starni Skorohodov integral slučajnog procesa X(t, ω), aintegral na desnoj strani se interpretira kao Pettisov integral. Ova relacija ustvari znači da je Itôv račun (dat Itôvom formulom) sa klasičnim proizvodomekvivalentan klasičnom diferencijalnom računu sa Wickovim proizvodom.Skorohodov integral predstavlja proširenje Itôvog integrala na ne-adaptiraneprocese. Sledeća lema daje karakterizaciju adaptiranih slučajnih procesa uzavisnosti od koeficijenata njihove haos ekspanzije.Lema 3.2.1 Neka je X(t) slučajan proces sa osobinom da je E µ (X 2 (t)) < ∞za svako t fiksirano.1. Neka je X(t) dat haos ekspanzijom IIX(t) =∞∑∫n=0R n f n (x, t)dB ⊗n (x), f n (·, t) ∈ ̂L 2 (R n ), n ∈ N.Tada je X(t) adaptiran ako i samo ako za sve n ∈ N važisuppf n (·, t) ⊆ {x ∈ R n : x i ≤ t, za sve i = 1, 2, . . . , n}. (3.18)2. Neka je X(t) dat haos ekspanzijom IX(t) = ∑ αc α (t)H α (ω).Tada je X(t) adaptiran ako i samo ako za sve n ∈ N važi⎧⎫⎨ ∑⎬supp c α (t)ξ ˆ⊗α (x)⎩⎭ ⊆ {x ∈ Rn : x i ≤ t, za sve i = 1, 2, . . . , n}.|α|=nDefinicija 3.2.1 Neka je X(t) slučajan proces sa osobinom da jeE µ (X 2 (t)) < ∞ za svako t, dat ekspanzijomX(t) =∞∑∫n=0(3.19)R n f n (x 1 , . . . , x n , t)dB ⊗n (x 1 , . . . x n ), f n (·, t) ∈ ̂L 2 (R n ), n ∈ N.
3.2 Skorohodov integral i Wickov račun 81Neka jêf n (x 1 , . . . , x n , x n+1 )simetrizacija funkcije f n (x 1 , . . . , x n , t) u donosu na n+1 promenljivih (stavilismo t = x n+1 ). Ako je∞∑(n + 1)!| ̂f n | 2 L 2 (R n+1 ) < ∞, (3.20)n=0tada definišemo Skorohodov integral procesa X(t), u oznaci ∫ X(t)δB(t), saR∫RX(t)δB(t) =∞∑I n+1 ( ̂f n ). (3.21)Iz definicije direktno sledi da Skorohodov integral pripada prostoru (L) 2i da je∫‖ X(t)δB(t)‖ (L) 2 =Rn=0∞∑(n + 1)!| ̂f n | 2 L 2 (R n+1 ) . (3.22)∫Teorema 3.2.1 Ako je X(t) adaptiran proces sa osobinomE R µ(X 2 (t))dt < ∞, tada se Skorohodov i Itôv integral poklapaju tj.∫∫X(t)δB(t) = X(t)dB(t). (3.23)Rn=0Dokaz ove teoreme je vrlo sličan dokazu teoreme 3.1.5, te se stoga izostavlja.RLema 3.2.2 Neka je Z(t) ∈ (S) ∗neka postoji p ∈ N takav da jedat ekspanzijom Z(t) = ∑ α c α(t)H α , isup{α!|c α | 2 L 1 (R) (2N)−pα } < ∞. (3.24)αNeka je φ ∈ S(R) proizvoljno. Tada su Z(t)♦W (t) i Z(t)♦W φ (t)(S) ∗ -integrabilni i važi:∫(S) ∗ Z(t)♦W (t)dt = ∑ (∫)c α (t)ξ k (t)dt H α+εk (3.25)Rα,kR∫(S) ∗ Z(t)♦W φ (t)dt = ∑ (∫)c α (t)(φ t (·)|ξ k )dt H α+εk . (3.26)Rα,kR
82 Wickov proizvodDokaz: Sledi iz teoreme 2.4.2, jer jeZ(t)♦W (t) = ∑ α,kc α (t)ξ k (t)H α+εk = ∑ βa može se pokazati (videti npr. [17]) i da jeM(p) = ∑ ∑β!c α (t)ξ k (t)β ∣ α,k∣α+ε k =β2L 1 (R)∑α,kα+ε k =βc α (t)ξ k (t)H β ,(2N) −pβ < ∞za neko p ∈ N. □Sličan rezultat važi i za (S) ∗ -integrabilnost nad odred¯enim intervalom[a, b]. Uslov (3.24) je tada zadovoljen ako je proces Z(t) takav da je∫ baE µ (Z 2 (t))dt < ∞. (3.27)Teorema 3.2.2 Neka je X(t) = ∑ α c α(t)H α Skorohod-integrabilan proces.Neka su a, b ∈ R, a < b proizvoljni. Tada za X(t)♦W (t) važi da je (S) ∗ -integrabilan nad [a, b] i pri tome je∫ ba∫ bX(t)δB(t) = (S) ∗ X(t)♦W (t)dt. (3.28)Dokaz: Prema prethodnoj lemi, dovoljno je dokazati da je∫X(t)δB(t) = ∑ (c α |ξ k )H α+εkRα,ki po potrebi, zameniti c α (t) sa c α (t)χ [a,b] (t). Ekspanzija procesa X(t) prekoItôvih integrala je data sa X(t) = ∑ ∞n=0 I n(f n ), gde je f n (u 1 , . . . , u n , t) =∑|α|=n c α(t)ξ ˆ⊗α (u 1 , . . . , u n ). Razvoj funkcije c α (t) u L 2 (R) je dat sa c α (t) =∑ ∞k=1 (c α|ξ k )ξ k (t). Dakle,aX(t) =∞∑∫∑n=0 R n |α|=n k=1∞∑(c α |ξ k )ξ k (t)ξ ˆ⊗α (u 1 , . . . , u n )dB ⊗n (u 1 , . . . , u n ).Kako je simetrizacija funkcije ξ k (t)ξ ˆ⊗α (u 1 , . . . , u n ) data sa ξ ˆ⊗(α+ε k ) (u 1 , . . . , u n , u n+1 )(stavili smo t = u n+1 ), sledi∫∞∑∫∑ ∞∑X(t)δB(t) =(c α |ξ k )ξ ˆ⊗(α+ε k ) dB ⊗(n+1)R=n=0∞∑ ∑n=0 |α|=nR n+1 |α|=n k=1∞∑k=1(c α |ξ k )H α+εk = ∑ α,k(3.29)(c α |ξ k )H α+εk .
3.2 Skorohodov integral i Wickov račun 83Time je dokaz završen.□Primer 3.2.11. U (S) ∗ smislu imamo W (t) = d B(t). Naime važi:dtB(t) =∫ t0∫ t∫ t1δB(s) = (S) ∗ 1♦W (s)ds = (S) ∗ W (s)ds.02. Ako je ψ(t) ∈ L 2 (R) deterministička funkcija (dakle i adaptirana), tadaje ∫ ψ(t)dB(t) = ∫ R (S)∗ ψ(t)♦W (t)dt.R3. Specijalno, za φ ∈ S(R) imamo da je∫W φ (t) =Rφ(s − t)dB(s) = (S) ∗ ∫Rφ(s − t)♦W (s)ds.4. Po Itôvoj formuli je poznato da je ∫ tB(s)dB(s) = 1 0 2 B2 (t)− 1 t. S druge2strane, formalno računajući u (S) ∗ dobijamo∫ t∫ t(S) ∗ B(s)♦W (t)dt = (S) ∗ B(t)♦B ′ (t)dt = 1 2 B(t)♦2 = 1 2 B2 (t)− 1 2 t.05. Neka je h(ω) ∈ (L) 2 nezavisno od t. Tada je00∫ bah(ω)δB(t, ω) = h(ω)♦(B(b) − B(a)).Definicija 3.2.2 Neka je Y (t, ω) proces sa osobinom da je ∫ R E µ(Y 2 (t))dt
84 Wickov proizvodDokaz: Neka je Y (s) dat razvojem Y (s) = ∑ α c α(s)H α . Tada je pouslovu ∫ E(Y 2 (t))dt < ∞ i lemi 3.2.2 proces Y (t)♦WR φ (t) (S) ∗ -integrabilan.Primenom teoreme 3.2.2 na proces (φ ∗ Y )(t) dobijamo:∫R(φ ∗ Y )(t)δB(t) = (S) ∗ ∫= (S) ∗ ∫□R∫= (S) ∗ R∫Y (s)♦((S) ∗(φ ∗ Y )(t)♦W (t)dt =)φ(t − s)Y (s)ds ♦W (t)dt =R) ∫φ(t − s)W (t)dt ds = (S) ∗RR∫ ((S) ∗Y (s)♦W φ (s)ds.R(3.32)3.3 Wickov proizvod procesa tipa (I)Pretpostavimo nadalje da je Zemanianov prostor nuklearan, odnosno da postojineko p ≥ 0 za koje je∞∑ −2p˜λ n < ∞.n=1Na primer u Schwartzovim prostorima S ′ (R) je ovaj uslov zadovoljen za p = 1.Tada možemo definisati u A ′ množenje Wickovog tipa:Definicija 3.3.1 Neka su f, g ∈ A ′ uopštene funkcije date razvojemf = ∑ ∞k=1 a kψ k , g = ∑ ∞k=1 b kψ k . Tada je f ⋄ g uopštena funkcija iz A ′definisana sa⎛ ⎞∞∑⎜∑⎟f ⋄ g = ⎝ a i b j ⎠ ψ n . (3.33)n=1i,j=1i+j=n+1Prethodna definicija je dobra, možemo dati čak i precizniji rezultat:Lema 3.3.1 Ako su f = ∑ ∞k=1 a kψ k ∈ A −k i g = ∑ ∞k=1 b kψ k ∈ A −l , tadaje f ⋄ g ∈ A −(k+l+p) . Pri tome, za proizvoljnu test-funkciju ϕ ∈ A važinejednakost( ∞)∑|〈f ⋄ g, ϕ〉| 2 ≤ ‖f‖ 2 −k‖g‖ 2 −2p−l‖ϕ‖ k+l+p˜λ n . (3.34)n=1
3.3 Wickov proizvod procesa tipa (I) 85Dokaz: Kako je niz {λ n } rastući, sledi da je∞∑∣n=1∣∑ ∣∣∣∣2−2(k+l+p) ∑ ∞a i b j˜λ n ≤i+j=n+1≤≤n=1∞∑˜λ n−2p˜λ n−2p∑|a i | 2˜λn −2k ∑|b j | 2˜λn −2li+j=n+1i+j=n+1∑|a i | 2 −2k ∑˜λi |b j | 2 −2l˜λjn=1 i+j=n+1i+j=n+1∞∑ −2p ∑˜λ ∞ n|a i | 2 −2k ∑∞˜λi |b j | 2 −2l˜λj < ∞n=1 i=1j=1po uslovu nuklearnosti. Dokažimo sada ocenu (3.34). Neka je ϕ ∈ Aproizvoljno, dato razvojem ϕ = ∑ ∞k=1 c kψ k . Označimo sa M = ∑ ∞ ˜λ−2pn=1 n .Tada je∣ |〈f ⋄ g, ϕ〉| 2 ∞∑ ∑ ∣∣∣∣2 ∞∑ k+l+p ∑−p −k −l=c∣ n a i b j =c∣ n˜λn ˜λ n ai˜λn bj˜λn ∣n=1 i+j=n+1n=1i+j=n+12∞∑≤ |c n | 2˜λn 2(k+l+p)∞∑∑−p −k −l˜λ∣n ai˜λn bj˜λn ∣≤≤n=1∞∑|c n | 2˜λn 2(k+l+p)n=1n=1∞∑n=1i+j=n+1˜λ n−2p∑i+j=n+1|a i | 2˜λn −2k ∑∞∑|c n | 2˜λn 2(k+l+p) ∑ ∞M |a i | 2 −2k ∑∞˜λi |b j | 2 −2l˜λjn=1i=1= ‖ϕ‖ k+l+p M‖f‖ 2 −k‖g‖ 2 −lj=1i+j=n+1|b j | 2˜λn −2lšto je i trebalo da se dokaže. □Slično se može definisati i množenje test-funkcija, pod dodatnom pretpostavkom:2Lema 3.3.2 Neka postoji konstanta C > 0 tako da je za sve indekse i, j ∈ Nzadovoljena relacija˜λ i+j ≤ C ˜λ i ˜λj .Ako su f = ∑ ∞k=1 a kψ k ∈ A k i g = ∑ ∞k=1 b kψ k ∈ A k , tada je f ⋄ g ∈ A (k−p) .
86 Wickov proizvodDokaz:∞∑∣n=1∣∑ ∣∣∣∣22k−2p ∑ ∞a i b j˜λ n =i+j=n+1n=1≤ C 2k≤ C 2k˜λ n−2p∣∑ ∞−2p˜λ n∣∑ k ∣∣∣∣2a i˜λn bji+j=n+1∣n=1 i+j=n+1∑ ∞−2p ∑˜λ ∞ n∣∑k ∣∣∣∣2a i ˜λik ˜λj bjn=1 i=1j=1|a i | 2 2k ∑∞˜λi |b j | 2 2k˜λj < ∞.Lema dokazana.□Primer 3.3.1 Za proizvoljne i, j ∈ N važiψ i ⋄ ψ j = ψ i+j−1 . (3.35)Primetimo da je definicija Wickovog množenja u prostoru A ′ prirodnopovezana sa Wickovim množenjem stohastičkih procesa u Hidinom prostoru.Na osnovu primera 2.3.3 videli smo da se svaka uopštena funkcija može trivijalnosmatrati stohastičkim procesom, kao i da se u tom slučaju prostorHidinih distribucija svodi na prostor expS ′ (R).Naredna definicija predstavlja proširenje Wickovog proizvoda i na procesetipa (I).Definicija 3.3.2 Neka su Φ ∈ A ∗ k , Ψ ∈ A∗ l procesi tipa (I) dati ekspanzijomΦ = ∑ ∞i=1 f i ⊗ H α i, f i ∈ A −k za sve i ∈ N i Ψ = ∑ ∞j=1 g j ⊗ H α j, g j ∈ A −l zasve j ∈ N takvi da postoje r 1 ≥ 0 i r 2 ≥ 0 za koje važi:∞∑‖f i ‖ 2 −k(2N) −r 1α i < ∞, (3.36)i=1∞∑‖g j ‖ 2 −l(2N) −r 2α j < ∞. (3.37)j=1Wickov proizvod elemenata Φ i Ψ je definisan sa⎛⎞∞∑ ⎜ ∑ ⎟ΦΨ = ⎝ f i ⋄ g j ⎠ ⊗ H α n. (3.38)n=1i,jα i +α j =α n+1
3.3 Wickov proizvod procesa tipa (I) 87Teorema 3.3.1 Wickov proizvod ΦΨ iz prethodne definicije je proces tipa(I), tačnije ΦΨ ∈ A ∗ k+l+p .Dokaz: Prema lemi 3.3.1 sledi da je za sve i, j ∈ N proizvod f i ⋄g j ∈ A −k−l−p ,pa su svi koeficijenti ekspanzije ∑ α i +α j =αf n+1 i ⋄ g j ∈ A −k−l−p . Kako je[ΦΨ, ϕ] = ∑ ∞ ∑n=1 α i +α j =α〈f n+1 i ⋄ g j , ϕ〉H α n, ostaje da se dokaže da je2∞∑∑〈f∣i ⋄ g j , ϕ〉(2N) −r 3α n < ∞ (3.39)∣n=1 α i +α j =α n+1za sve ϕ ∈ A i neko r 3 ≥ 0. Neka je r 3 = r 1 + r 2 + r 3 + q, gde je q > 1. Tadaje prema (3.34)2∞∑∑〈f i ⋄ g j , ϕ〉(2N) −r 3α n ≤∣∣n=1 α i +α j =α n+1 ∣∞∑∑√ ∣∣∣∣2≤‖f i ‖ −k ‖g j ‖ −l ‖ϕ‖ k+l+p M (2N) −r 3α n∣n=1 α i +α j =α n+1 ∣ ∣∞∑ ∣∣∣∣ ∑∣∣∣∣2= M (2N) −qαn 2 ‖g j ‖ −l (2N) − r 2 αj2 ‖ϕ‖ k+l+p≤ Mn=1∞∑n=1(2N) −qαnα i +α j =α n+1 ‖f i ‖ −k (2N) − r 1 αi∞∑i=1‖f i ‖ 2 −k(2N) −r 1α i∞∑j=1‖g j ‖ 2 −l(2N) −r 2α j ‖ϕ‖ 2 k+l+p < ∞gde smo koristili osobinu (2N) αi +α j = (2N) αi (2N) αj . □Primer 3.3.2 Ako su f, g ∈ A ′ , možemo ih trivijalno smatrati stohastičkimprocesima datim razvojem f = f ⊗H α 1, g = g⊗H α 1, gde je α 1 = (0, 0, 0, . . .).To znači da imaju samo prvi član u haos ekspanziji, odnosno konstantne supo promenljivoj ω. Tada jefg = (f ⋄ g) ⊗ H α 1 +α 1 = (f ⋄ g) ⊗ H α 1 = f ⋄ g.Ovaj primer pokazuje da se Wickov proizvod ⋄ u prostoru A ′ može na prirodannačin potopiti u Wickov proizvod u prostoru A ∗ .Primer 3.3.3 Neka su f, g ∈ (S) −1 uopštene stohastičke funkcije date ekspanzijomf = ∑ i=1 f iH α i, g = ∑ i=1 g iH α i, gde su f i , g i ∈ R, i ∈ N. Tada je⎛⎞f♦g = ∑ ⎜ ∑ ⎟⎝ f i g j ⎠ H α n.n=1i,jα i +α j =α n+1
88 Wickov proizvodS druge strane, svaku konstantu f i možemo posmatrati kao uopštenu funkciju.Tačnije, svakom f i , i ∈ N odgovara element prostora A ′ koji ćemo označavatisa ˜f i , i on je dat razvojem∑ ∞ (∫ ∞)˜f i = f i ψ k (t)dt ψ k .Slično imamo elementeNeka su dalje,Tada je˜g j = g j˜f =∞∑k=1k=1−∞(∫ ∞)ψ k (t)dt ψ k , j ∈ N.−∞∞∑˜f i ⊗ H α i, ˜g =i=1˜f˜g =⎛∞∑ ⎜⎝n=1∑i,jα i +α j =α n+1∞∑˜g i ⊗ H α i.i=1˜fi ⋄ ˜g j⎞⎟⎠ ⊗ H α n.Kako je∫ ∞∫ ∞)˜f i ⋄ ˜g j =(f i ψ 1 (t)dt · g j ψ 1 (t)dt ψ 1 +−∞−∞(∞∑ ∑∫ ∞∫ )∞+f i ψ s (t)dt · g j ψ z (t)dt ψ k ,sledi da je za ϕ =k=2s+z=k+1−∞−∞ψ 1( ∫ ∞−∞ ψ 1(t)dt) 2zadovoljeno 〈 ˜f i ⋄ ˜g j , ϕ〉 = f i g j . Dakle važida je[ ˜f˜g, ϕ] = ∑ n=1= ∑ n=1= f♦g.∑〈 ˜f i ⋄ ˜g j , ϕ〉H α ni,jα i +α j =α∑n+1f i g j H α ni,jα i +α j =α n+1Ovaj primer pokazuje da Wickov proizvod na prostoru A ∗ predstavlja prirodnouopštenje Wickovog proizvoda ♦ na prostoru stohastičkih uopštenih funkcija.
3.3 Wickov proizvod procesa tipa (I) 89Primer 3.3.4 Na kraju, dajemo primer nelinearne SDJ sa Wickovim proizvodom.Generalno, jednačine ovog tipa se rešavaju pomoću S-transformacije. Ovde semed¯utim prikazuje metoda rešavanja bez ove transformacije, odnosno metodatraženja rešenja u obliku redova izjednačavanjem koeficijenata.Neka je R samoadjungovani diferencijalni operator koji definiše prostorZemaniana. Neka je P (t) polinom sa realnim koeficijentima i P (R) operatordefinisan kao u primeru 2.4.3 sa osobinom da je P ( ˜λ k ) − 1 ≠ 0 za svakok ∈ N. Posmatrajmo nelinearnu stohastičku diferencijalnu jednačinu oblikaP (R)X(t) = X(t) ˜W (t) + g(t, ω) (3.40)gde je ˜W (t) singularni šum u A ∗ = L(A, (S) −1 ) dat ekspanzijomi g(t, ω) ∈ A ∗ oblika˜W (t) =g(t, ω) =∞∑ψ n (t) ⊗ H εn ,n=1∞∑g n (t) ⊗ H εn ,n=1gde su g n (t) ∈ A −r , za neko fiksirano r ≥ 0, n ∈ N. Dakle,i pri tome važi da jeg n (t) =∞∑g n,k ψ k (t),k=1g n,k ∈ R∞∑|g n,k | 2 −2r˜λk < ∞, (3.41)k=1kao i da postoji q ≥ 0 za koje je∞∑‖g n ‖ 2 −r(2N) −qεn =n=1∞∑‖g n ‖ 2 −r(2n) −q < ∞. (3.42)n=1Rešenje X(t) jednačine ćemo tražiti u oblikuX(t) =∞∑a n (t) ⊗ H εnn=1gde su a n (t) ∈ A ′ , n ∈ N koeficijenti koje treba odrediti. Neka je a n (t) datrazvojem∞∑a n (t) = a n,k ψ k (t), a n,k ∈ R.k=1
90 Wickov proizvodTada je, slično kao i u primeru 2.4.3(∞∑ ∞)∑P (R)X(t) = a n,k P ( ˜λ k )ψ k (t) ⊗ H εn , (3.43)n=1k=1a po definiciji Wickovog proizvoda je(X(t) ˜W∞∑ ∑(t) + g(t) =n=1i+j=n+1a i (t) ⋄ ψ j (t) + g n (t))⊗ H εn . (3.44)Kako je a i (t)⋄ψ j (t) = ∑ ∞k=1 a i,kψ k (t)⋄ψ j (t) = ∑ ∞k=1 a i,kψ k+j−1 (t), relacija(3.44) postaje( )X(t) ˜W∞∑ ∑ ∞∑(t) + g(t) =a i,k ψ k+j−1 (t) + g n (t) ⊗ H εn . (3.45)n=1Iz (3.43) i (3.45) sledi da jei+j=n+1 k=1∑i+j=n+1 k=1∞∑a i,k ψ k+j−1 (t) +∞∑g n,k ψ k (t) =k=1∞∑a n,k P ( ˜λ k )ψ k (t), n ∈ N.(3.46)Iz sistema jednačina (3.46) se rekurzivno mogu odrediti koeficijentia n,k , n, k ∈ N.Za n = 1 (3.46) dajek=1odakle sledi da je∞∑∞∑a 1,k ψ k (t) + g 1,k ψ k (t) =k=1k=1∞∑a 1,k P ( ˜λ k )ψ k (t)k=1a 1,k =g 1,kP ( ˜λ, k = 1, 2, . . .k ) − 1Za n = 2 relacija (3.46) postaje∞∑a 1,k ψ k+1 (t) +k=1∞∑a 2,k ψ k (t) +k=1∞∑g 2,k ψ k (t) =k=1∞∑a 2,k P ( ˜λ k )ψ k (t),k=1odakle nakon pomeranja indeksa u prvoj sumi, sledi da jea 2,1 =g 2,1P ( ˜λ 1 ) − 1 ,
3.3 Wickov proizvod procesa tipa (I) 91Slično, za n = 3 imamoa 2,k = g 2,k + a 1,k−1P ( ˜λ, k = 2, 3, . . .k ) − 1∞∑∞∑∞∑∞∑a 1,k ψ k+2 (t)+ a 2,k ψ k+1 (t)+ a 3,k ψ k (t)+ g 3,k ψ k (t) =k=1k=1k=1k=1∞∑a 3,k P ( ˜λ k )ψ k (t),k=1odakle se dobijaju:a 3,1 =g 3,1P ( ˜λ 1 ) − 1 ,a 3,2 = g 3,2 + a 2,1P ( ˜λ 2 ) − 1 ,a 3,k = g 3,k + a 1,k−2 + a 2,k−1P ( ˜λ, k = 3, 4, . . .k ) − 1Indukcijom se lako može proveriti da je u opštem slučajua n,k = g n,k + ∑ n−1i=1 a i,k−n+iP ( ˜λ k ) − 1, n ∈ N; k = n, n + 1, . . . (3.47)Kako je P ( ˜λ k ) − 1 ≠ 0 za sve k ∈ N, sledi da postoji konstanta K > 0 takvada je |P ( ˜λ k ) − 1| ≥ K za sve k ∈ N.Iz (3.41) sledi da postoji C(n) > 0 tako da je za svako k ∈ N zadovoljeno|g n,k | ≤ C(n) ˜λ kr.Slično, na osnovu (3.42) imamo da postoji D > 0 tako da je za svako n ∈ Nzadovoljeno∞∑‖g n ‖ 2 −r = |g n,k | 2 −2r˜λk ≤ D(2n) q .k=1Dakle, za svako n ∈ N je C(n) ≤ D(2n) q .Sada imamo da jeDalje je|a 1,k | ≤ |g 1,k|K≤ C(1) ˜λ krK≤ D K ˜λ kr(2) q , k = 1, 2, . . .|a 2,k | ≤ 1 K (|g 2,k| + |a 1,k−1 |) ≤ 1 K (C(2) ˜λ kr+C(1)K ˜λ r k−1).
92 Wickov proizvodKako je ˜λ kr≥ ˜λr k−1 , i (2n) q ≥ (2(n − 1)) q , sledi da jeSlično se dobija i|a 2,k | ≤ D ˜λrk (2 · 2) q ( 1 K + 1 ), k = 2, 3, . . .K2 |a 3,k | ≤ D ˜λrk (2 · 3) q ( 1 K + 2 1 K + 1 ), k = 3, 4, . . . ,2 K3 |a 4,k | ≤ D ˜λrk (2 · 4) q ( 1 K + 3 1 K + 3 1 2 K + 1 ), k = 4, 5, . . . ,3 K4 U opštem slučaju, važi da je|a n,k | ≤ D ˜λ kr(2n)qn∑i=1( ) n − 1 1i − 1 K , k ≥ n (3.48)iodnosno|a n,k | ≤ D ˜λ kr(2n) q K(1 + 1 K )n−1 , n, k ∈ N. (3.49)Neka je p dato kao u (3.3). Tada je na osnovu (3.49)∞∑|a n,k | 2 −2r−2p˜λk ≤ D 2 (2n) 2q K 2 (1 + 1 ∑ ∞K )2(n−1)k=1k=1˜λ k−2p< ∞,odnosno‖a n ‖ 2 −(r+p) < ∞, n ∈ N (3.50)što pokazuje da su svi koeficijenti a n (t) ∈ A −(r+p) .Takod¯e važi da je∞∑∞∑‖a n ‖ 2 −(r+p)e −s(2N)εn = ‖a n ‖ 2 −(r+p)e −2snn=1n=1≤ D 2 M 2 K 2∞∑n=1(2n) 2q (K + 1 K )2(n−1) e −2sn ,(3.51)gde smo sa M označili M = ∑ ∞k=1 ˜λ k−2p. Red sa desne strane relacije (3.51)konvergira po D’Alambertovom kriterijumu, ako biramo da je s > ln(1 + 1 K ).Dakle, rešenje X(t) pripada prostoru L(A r+p , exp(S) −1 ).
Literatura[1] Adams R.A., Sobolev Spaces, Academic Press, 1975[2] Albeverio S., Daletsky Y.L., Kondratiev Y.G., Non-Gaussian InfiniteDimensional Analysis, Journal of Functional Analysis 138, pp 311-350,1996[3] Arnold L., Stochastic Differential Equations - Theory and Applications,John Wiley & Sons, 1974[4] Benth F.E., Deck T., Potthoff J., A White Noise Approach to a Classof Non-linear Stochastic Heat Equations, Journal of Functional Analysis146, pp 382-415, 1997[5] Benth F.E., Pothoff J., On the Martingale Property for GeneralizedStochastic Processes, Manuskripte Nr. 195/95, Fakultät für Mathematikund Informatik der Universität Mannheim[6] Dôku I., White Noise Approach to Limit Theorems for Solutions of someWick Type Nonlinear Equations, Far East J. Math. Sci. 4(2), pp 137-187,2002[7] Evans L., Gariepy R., Measure Theory and Fine Properties of Functions,CRC Press, 1992[8] Floret K., Wloka J., Einführung in die Theorie der lokalkonvexenRäume, Springer Verlag, 1968[9] Gel’fand I.M., Vilenkin N.Ya., Generalized Functions - Applications ofHarmonic Analysis, Academic Press, 1964[10] Grothaus M., Kondratiev Y.G., Streit L., Regular Generalized Functionsin Gaussian Analysis, Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probabilityand Related Topics, Vol.2, No.1, pp 1-25, 1999
94 LITERATURA[11] Hadžić O., Odabrane metode teorije verovatnoće, Institut za matematiku,Novi Sad, 1990[12] Hida T., Brownian Motion, Springer Verlag, 1980[13] Hida T., White Noise Analysis and some Future Directions, Preprint[14] Hida T., Some Methods of Computation in White Noise Calculus,Preprint, pp 103-110[15] Hida T., Kuo H.H., Obata N., Transformations for White Noise Functionals,Journal of Functional Analysis 111, pp 259-277, 1993[16] Hida T., Kuo H.H., Pothoff J., Streit L., White Noise - An InfiniteDimensional Calculus, Kluwer Academic Publishers, 1993[17] Holden H., Øksendal B., Ubøe J., Zhang T., Stochastic Partial DifferentialEquations - A Modeling, White Noise Functional Approach,Birkhäuser, 1996[18] Hollands S., Wald R.M., Local Wick Polynomials and Time OrderedProducts of Quantum Fields in Curved Spacetime, Communications inMathematical Physics 223, pp 289-326, 2001[19] Hu Y., Øksendal B., Fractional White Noise Calculus and Applicationsto Finance, Preprint 10/1999, University of Oslo[20] Hu Y., Øksendal B., Chaos Expansion of Local Time of Fractional BrownianMotions, Preprint 20/2000, University of Oslo[21] Huang Z., Hu X., Wang X., Explicit Forms of Wick Tensor Powers inGeneral White Noise Spaces, IJMMS 31:7, pp 413-420, 2002[22] Ivković Z.A., Teorija verovatnoća sa matematičkom statistikom,Grad¯evinska Knjiga, Beograd, 1976[23] Kaminski A., Lozanov-Crvenković Z., Pilipović S., Structure Theoremsfor Functional Generalized Random Processes, to appear[24] Kondratiev Y.G., Leukert P., Potthoff J., Streit L., Generalized Functionalsin Gaussian Spaces: The Characterization Theorem Revisited,Journal of Functional Analysis 141, pp 301-318, 1996[25] Kuo H.H., White Noise Distribution Theory, CRC Press, 1996[26] Kuo H.H., White Noise Theory, Preprint
LITERATURA 95[27] Kuo H.H., Xiong J., Stochastic Differential Equations in White NoiseSpace, Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and RelatedTopics, Vol.1, No.4, pp 611-632, 1998[28] Kurepa S., Funkcionalna analiza - Elementi teorije operatora, Školskaknjiga, Zagreb, 1981[29] Lee Y.J., Integral Representation of Second Quantization and Its Applicationto White Noise Analysis, Journal of Functional Analysis 133, pp253-276, 1995[30] Lozanov-Crvenković Z, Perišić D., Pilipović S., Contributions to the Theoryof Generalized Random Processes, Faculty of Science, Novi Sad, 2002[31] Lozanov-Crvenković Z., Pilipović S., On Some Classes of GeneralizedRandom Linear Functionals, Journal of Mathematical Analysis and Applications,Vol.129, No.2, pp 433-442, 1998[32] Mališić J., Slučajni procesi, Grad¯evinska Knjiga, Beograd, 1989[33] Meyer P.A., Quantum Probability for Probabilists, Springer Verlag, 1995[34] Mirković B., Teorija mera i integrala, Naučna Knjiga, Beograd, 1990[35] Mittelstaedt P., The Interpretation of Quantum Mechanics and the MeasurementProcess, Cambridge University Press, 1998[36] Mladenović P., Verovatnoća i statistika, VESTA - Matematički fakultet,Beograd, 1995[37] Nualart D., Rozovski B., Weighted Stochastic Sobolev Spaces and BilinearSPDEs Driven by Space-Time White Noise, Journal of FunctionalAnalysis 149, pp 200-225, 1997[38] Obata N., Operator Calculus on Vector Valued White Noise Functionals,Journal of Functional Analysis 121, pp 185-232, 1994[39] Øksendal B., Stochastic Differential Equations - An Introduction withApplications, Springer Verlag, 2000[40] Øksendal B., Stochastic Partial Differential Equations - A MathematicalConnection between Macrocosmos and Microcosmos, M.Gyllenberg etal.(Eds.): Analysis, Algebra and Computers in Mathematical Research,pp 365-385, 1994
96 LITERATURA[41] Øksendal B., Black & Scholes-formelen: En triumf for matematisk modelleringi finans, Preprint 14/1999, University of Oslo[42] Pap E., Pilipović S., Semigroups of Operators on the Space of GeneralizedFunctions ExpA ′ , Journal of Math. Anal. and Appl., Vol.126, No.2,pp 501-515, 1987[43] Pilipović S., Stanković B., Prostori distribucija, SANU Ogranak u<strong>Novom</strong> <strong>Sadu</strong>, 2000[44] Pilipović S., Some operations in ∑ ′α , α > 1 , Radovi Matematički, Vol.5,2pp 53-62, 1989[45] Pilipović S., Generalization of Zemanian Spaces of Generalized FunctionsWhich Have Orthonormal Series Expansions, SIAM J. Math.Anal., Vol.17, No2, pp 477-484, 1986[46] Potthoff J., Streit L., Invariant States on Random and Quantum Fields:φ-Bounds and White Noise Analysis, Journal of Functional Analysis 111,pp 295-311, 1993[47] Rao M.M., Stochastic Processes and Integration, Stijthoff & Nordhoff,1979[48]Širjaev A.N., Verojatnost, Nauka, Moskva, 1989[49] Siu-Ah Ng, White Noise Analysis in a Nonstandard Model, Preprint2002 University of Natal[50] Stan A., Paley-Wiener Theorem for White Noise Analysis, Journal ofFunctional Analysis 173, pp 308-327, 2000[51] Steele J.M., Stochastic Calculus and Financial Applications, SpringerVerlag, 2001[52] Zemanian A.H., Generalized Integral Transforms, Nauka, Moskva, 1974[53] Zeqian C., Gaussian White Noise Calculus of Generalized Expansion,Acta Mathematica Scientia 22B(3), pp 359-368, 2002[54] Ziemer W.P., Weakly Differentiable Functions - Sobolev Spaces andFunctions of Bounded Variation, Springer Verlag, 1989
97SPISAK UČESTALIH OZNAKAA Bskup svih preslikavanja iz prostora B uprostor AL(A, B) skup svih linearnih, neprekidnih preslikavanjaiz prostora A u prostor BC ∞ (R d ) prostor glatkih funkcija nad R dL 2 (R d ) prostor kvadratno integrabilnihfunkcija nad R d̂L 2 (R d ) prostor simetričnih kvadratno integrabilnihfunkcija nad R dF(H)Fockov prostor nad Hilbertovim prostoromstr. 9HΓ(H)simetrični Fockov prostor nad Hilbertovimstr. 9prostorom HS(R d ) Schwartzov prostor test funkcija str. 16S ′ (R d ) Schwartzov prostor distribucija str. 16A Zemanianov prostor test funkcija str. 19A ′ Zemanianov prostor distribucija str. 19expA prostor test funkcija str. 21expA ′ prostor distribucija str. 21(L) 2 prostor kvadratno integrabilnih str. 41funkcija nad prostorom S ′ (R d )(L) 2,m , (L) 2,m,N str. 41(S) prostor Hidinih test funkcija str. 48(S) ∗ prostor Hidinih distribucija str. 48(S) ρ prostor Kondratievih test funkcija str. 48(S) −ρ prostor Kondratievih distribucija str. 48(S p ) ρ , (S −p ) −ρ str. 48exp(S) ρ prostor test funkcija str. 52exp(S) −ρ prostor distribucija str. 52A ∗ L(A, (S) −1 ) ili L(A, exp(S) −1 ) str. 59, 67A ∗ k L(A k , (S) −1 ) ili L(A k , exp(S) −1 ) str. 59, 67
98χ [0,t] karakteristična funkcija skupa [0, t]h n (x) Hermiteov polinom reda n str. 14ξ n (x) Hermiteova funkcija reda n str. 15η j (x) baza prostora L 2 (R d ) str. 15R operator koji generiše prostor A str. 18Γ(A) operator druge kvantizacije pridružen str. 13operatoru Aψ k ortonormirana baza prostora A str. 18λ k karakteristični koreni operatora R str. 18δ t Diracova delta distribucija str. 18H α (ω) Fourier-Hermiteov polinom str. 42B t (ω) Brownovo kretanje str. 32, 39w(φ, ω) uglačani beli šum str. 39W φ (t, ω) koordinatni proces belog šuma str. 40W (t, ω) singularni beli šum str. 50ε jniz nula sa jedinicom na j-toj koordinatistr. 45|α| dužina multiindeksa α str. 16Index(α) indeks multiindeksa str. 59n(α) broj nenula elemenata u multiindeksu str. 59Iskup nizova sa konačno mnogo nenula str. 42∫elemenata(·)dB ⊗n Itôv integral str. 33R dI n (·) Itôv integral str. 33(S) ∫ ∗ (·)dt Pettisov integral u prostoru stohastičkihdistribucijastr. 57R d⊗ tenzorski proizvod str. 7⊕ˆ⊗ simetrični tenzorski proizvod str. 8direktna ortogonalna suma prostora str. 7(2N) γ str. 49〈·, ·〉 dualno sparivanje[·, ·] dualno sparivanje u A ∗ str. 56♦Wickov proizvod u prostorima tipa(S) −1str. 74⋄ Wickov proizvod u prostoru A ′ str. 84 Wickov proizvod u prostorima tipa A ∗ str. 86
BiografijaRođena sam 22. aprila 1978. godine uZrenjaninu, gde sam završila osnovnu školu i gimnazijusa prosekom 5,00 i Vukovom diplomom, kao i nižumuzičku školu. Studije matematike sam započela 1996.na PMF-u u <strong>Novom</strong> <strong>Sadu</strong> na smeru Diplomiranimatematičar. Diplomirala sam juna 2000. sa prosečnomocenom 9,92 i nagradom Mileva Marić-Einstein zanajbolji seminarski rad.Od oktobra 2000. godine sam zaposlena naDepartmanu za matematiku i informatiku kao asistentpripravnik.Držim vežbe iz predmeta: Verovatnoća i statistika, Statističkomodeliranje, Funkcionalna analiza, Uvod u analizu, Analiza I, Matematika I.Postdiplomske studije sam upisala novembra 2000. godine iz oblastiAnaliza i verovatnoća. U toku studija do 2002. položila sam sve ispite saprosečnom ocenom 10,00. Učestvovala sam u letnjoj školi Prostornistohastički procesi koju je organizovao CIME u Italiji 2001., u zimskoj školiParcijalne diferencijalne jednačine sa singularitetima u <strong>Novom</strong> <strong>Sadu</strong> 2003., iimala sam jedno izlaganje pod naslovom Stohastički modeli finansijskih tržištana konferenciji PRIM na Zlatiboru 2002.Oblasti interesovanja su mi pored nauke i naučna fantastika, učenjestranih jezika i plivanje. Od 1998. godine sam član MENSA Jugoslavije.Novi Sad, 20. 12. 2003.Dora Seleši
100UNIVERZITET U NOVOM SADUPRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTETKLJUČNA DOKUMENTACIJSKA INFORMACIJARedni broj:RBRIdentifikacioni broj:IBRTip dokumentacije: Monografska dokumentacijaTDTip zapisa: Tekstualni štampani materijalTZVrsta rada: Magistarska tezaVRAutor: Dora SelešiAUMentor: Akademik dr Stevan PilipovićMNNaslov rada: Ekspanzija uopštenih stohastičkih procesa sa primenama ujednačinamaNRJezik publikacije: srpski (latinica)JPJezik izvoda: srpski/engleskiJIZemlja publikovanja: Srbija i Crna GoraZPUže geografsko područje: VojvodinaUGPGodina: 2003.GOIzdavač: Autorski reprintIZ
101Mesto i adresa: Novi Sad, Prirodno-matematički fakultet, Trg DositejaObradovića 4MAFizički opis rada: 3/105/54/0/0/0/0(broj poglavlja/strana/lit. citata/tabela/slika/grafika/priloga)FONaučna oblast: MatematikaNONaučna disciplina: Analiza i verovatnoćaNDPredmetna odrednica/Ključne reči: stohastički procesi, beli šum, Brownovokretanje, haos ekspanzija, Wickov proizvod, nuklearni prostori, Schwartzoviprostori, prostori Zemaniana, prostori Kondratieva, Hermiteovi polinomi ifunkcije.POUDK:Čuva se: u biblioteci Departmana za matematiku i informatiku, Novi SadČUVažna napomena:VNIzvod: Magistarska teza je posvećena ekspanziji (razlaganju u redove) uopštenihstohastičkih procesa tipa (O) i tipa (I) po ortogonalnoj bazi prostora kvadratnointegrabilnih slučajnih promenljivih definisanih nad prostorom belog šuma, ikarakterizaciji raznovrsnih prostora uopštenih stohastičkih funkcija. Wickovproizvod koji je definisan za procese tipa (O) prenosi se i na procese tipa (I).Dati su primeri stohastičkih diferencijalnih jednačina koje opisuju zakoneodržanja sa belim šumom i evolucionih jednačina čija su rešenja uopštenistohastički procesi tipa (I) dati u obliku redova.IZDatum prihvatanja teme od strane NN Veća: 16.01.2003.DPDatum odbrane:DOČlanovi komisije:Predsednik: dr Zagorka Lozanov-Crvenković, redovni profesor, Prirodnomatematičkifakultet, <strong>Univerzitet</strong> u <strong>Novom</strong> <strong>Sadu</strong>
102Član: Akademik dr Stevan Pilipović, redovni profesor, Prirodno-matematičkifakultet, <strong>Univerzitet</strong> u <strong>Novom</strong> <strong>Sadu</strong>Član: dr Slobodanka Janković, viši naučni saradnik, Matematički institut,Srpska akademija nauka i umetnosti, BeogradČlan: dr Danijela Rajter, docent, Prirodno-matematički fakultet, <strong>Univerzitet</strong>u <strong>Novom</strong> <strong>Sadu</strong>KO
UNIVERSITY OF NOVI SADFACULTY OF NATURAL SCIENCES AND MATHEMATICSKEY WORDS DOCUMENTATION103Accession number:ANOIdentification number:INODocument type: Monograph typeDTType of record: Printed textTRContents code: Master thesisCCAuthor: Dora SelešiAUMentor: Academic Stevan Pilipović, PhDMNTitle: Expansion of Generalized Stochastic Processes with Applications toEquationsTILanguage of text: SerbianLTLanguage of abstract: Serbian/EnglishLACountry of publication: Serbia and MontenegroCPLocality of publication: VojvodinaLPPublication year: 2003.PYPublisher: Author’s reprintPU
104Publication place: Novi Sad, Faculty of Science and Mathematics, DositejaObradovića 4PPPhysical description: 3/105/54/0/0/0/0(chapters/pages/literature/tables/pictures/graphics/appendices)PDScientific field: MathematicsSFScientific discipline: Analysis and probabilitySDSubject / Key words: stochastic process, white noise, Brownian motion,chaos expansion, Wick product, nuclear spaces, Schwartz spaces, Zemanianspaces, Kondratiev spaces, Hermite polinoms and functions.SKWUC:Holding data: library of the Department of Mathematics and Informatics,Novi SadHDNote:NAbstract: This thesis is devoted to the series expansion of generalizedstochastic processes of type (O) and type (I) by the orthogonal basis of thesquare integrable random variables defined on the white noise space, and tothe characterization of some spaces of generalized stochastic functions. TheWick product which is defined for processes of type (O) is generalized also forprocesses of type (I). Examples of stochastic differential equations are given,which have generalized stochastic processes of type (I) as solutions given bytheir series expansion.ABAccepted by Scientific Board on: January 16, 2003ASBDefended:DEThesis defend board:President: Zagorka Lozanov-Crvenković, PhD, Full Professor, Faculty of Scienceand Mathematics, University of Novi SadMember: Academic Stevan Pilipović, PhD, Full professor, Faculty of Scienceand Mathematics, University of Novi Sad
Member: Slobodanka Janković, PhD, Research Associate Professor, MathematicalInstitute, Serbian Academy of Sciences and Art, BelgradeMember: Danijela Rajter, PhD, Associate Professor, Faculty of Science andMathematics, University of Novi SadDB105
![Srpski [PDF] - Univerzitet u Novom Sadu](https://img.yumpu.com/50819853/1/184x260/srpski-pdf-univerzitet-u-novom-sadu.jpg?quality=85)
Change language