pdf - Univerzitet u Novom Sadu

1.2 Osnovi stohastičke analize 25Teorema 1.2.2 (Kolmogorov) Neka je {P τ } familija saglasnih verovatnosnihmera na (R τ , B(R τ )) . Tada postoji jedinstvena mera P na (R T , B(R T )takva da jeP {x ∈ R T : (x(t 1 ), x(t 2 ), . . . , x(t n )) ∈ B} = P [t1 ,t 2 ,...,t n](B) (1.66)za sve izbore τ = [t 1 , t 2 , . . . , t n ] ⊂ T i B ∈ B(R τ ).1.2.2 Slučajne promenljive i njihove karakteristikeDefinicija 1.2.8 Preslikavanje X : Ω → R n iz prostora verovatnoće (Ω, F, P )u merljiv prostor (R n , B(R n )) naziva se n-dimenzionalna slučajna promenljivaako inverzna slika svakog Borelovog skupa pripada σ-algebri F. Na merljivomprostoru (R n , B(R n )) uvodimo verovatnosnu meru P X definisanu relacijomP X (B) = P (X −1 (B)). (1.67)Za meru P X postoji jedinstvena funkcija raspodele F X : R n → R za koju važiF X (x) = P X ((−∞, x 1 ] × · · · × (−∞, x n ]) = P {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x}. (1.68)Funkciju F X nazivamo funkcija raspodele slučajne promenljive X.Dakle slučajna promenljiva X prenosi strukturu verovatnosnog prostora(Ω, F, P ) na prostor (R n , B(R n ), P X ) u kojem postoji razvijen aparat matematičkeanalize. Najčešće ćemo i identifikovati ova dva prostora.{ 1, ω ∈ ADefinicija 1.2.9 Slučajna promenljiva I A data sa I A (ω) =0, ω /∈ A zadogad¯aj A ∈ F naziva se indikator dogad¯aja A.Ako postoje disjunktno razbijanje sigurnog dogad¯aja Ω = A 1 ∪ A 2 ∪ . . . , inajviše prebrojiv skup {x 1 , x 2 , . . .} ⊂ R, tada slučajnu promenljivu oblikaX(ω) =∞∑x i I Ai (ω) (1.69)i=1nazivamo diskretna slučajna promenljiva.Definicija 1.2.10 Slučajna promenljiva je apsolutno neprekidnog tipa, akoje verovatnosna mera P X apsolutno neprekidna u odnosu na Lebesgueovumeru na R n . Radon-Nikodỳmov izvod mere P X po meri Lebesguea označavamosa ϕ(x) i nazivamo funkcija gustine slučajne promenljive X.