pdf - Univerzitet u Novom Sadu

6 UvodOvde smo u stvari po Rieszovoj teoremi identifikovali dual H ′ sa samimprostorom H. Primetimo da je H gust u V ′ u odnosu na slabu topologijuprostora V ′ .U slučaju nuklearnih prostora imamo Gel’fandovu trojku oblikaE ⊆ E 0 ⊆ E ′ .1.1.2 Proizvod i direktna suma prostoraDefinicija 1.1.12 Neka je {(X j , τ j )}, j ∈ J familija lokalno konveksnihprostora. Kartezijski proizvod ovih prostora, u oznaci X = ∏ j∈J X j je skuppreslikavanjaX = {x : J → ⋃ j∈JX j |x(j) ∈ X j , j ∈ J}. (1.5)Koristimo konvenciju x j = x(j). Vektorska struktura na X je definisanapo komponentama: (λx) j = λx j , (x + y) j = x j + y j . Preslikavanje π j : X →X j dato sa π j (x) = x j nazivamo j-ta projekcija.Definicija 1.1.13 Topologija na kartezijskom proizvodu X je proizvod topologijaτ j ; baza ove topologije data je familijom skupova{ ⋂π −1 (O i )|O i ∈ τ i , K ⊆ J, |K| < ℵ 0 }. (1.6)i∈KProizvod topologija na X = ∏ j∈J X j je u stvari projektivna topologija tj.najgrublja topologija za koju su sve projekcije π j : X → X j neprekidne.Niz u X konvergira (respektivno Cauchyjev je) ako konvergira (respektivnoCauchyjev je) po komponentama. Specijalno, X je kompletan ako susve komponente X j kompletni prostori.Definicija 1.1.14 Neka je {(X j , τ j )}, j ∈ J familija lokalno konveksnihprostora. Algebarska direktna suma ovih prostora, u oznaci ∑ j∈J X j je skup{x ∈ ⋃ j∈JX j |x = ∑ j∈Kx j , x j ∈ X j , j ∈ K ⊆ J, |K| < ℵ 0 }. (1.7)Na algebarskoj direktnoj sumi prostora je data induktivna topologija tj. najfinijalokalno konveksna topologija u odnosu na koju su sva prirodna potapanjaX j → ∑ j∈J X j neprekidna.