pdf - Univerzitet u Novom Sadu

2.1 Prostor verovatnoće belog šuma 37Definicija 2.1.3 Prostor (E ′ , B(E ′ ), µ C ) nazivamo prostor šuma pridruženosnovnom prostoru (E, | · |).Definicija 2.1.4 Matematičko očekivanje merljive funkcije f definisane nadE ′ u odnosu na meru µ C je dato sa∫E µ (f) = f(ω)dµ C (ω), (2.5)E ′pod uslovom da je E µ (f) = ∫ E ′ |f(ω)|dµ C (ω) < ∞.Direktno iz (2.4) sledi da je karakteristična funkcija slučajne promenljive〈·, φ〉 data sa∫E µ (e i〈·,φ〉 ) = e i〈ω,φ〉 dµ C (ω). (2.6)E ′Sa stanovišta primena prirodno je posmatrati tzv. prostor belog šuma.Definicija 2.1.5 Neka je E = S(R d ), E ′ = S ′ (R d ), H = L 2 (R d ), C(φ) =exp{− 1 2 |φ|2 } i µ odgovarajuća mera iz teoreme Bochner-Minlosa. ProstorL 2 (R d )(S ′ (R d ), B, µ) (2.7)nazivamo prostor verovatnoće belog šuma. Mera µ je mera belog šuma iliGaussova mera na S ′ (R d ).U daljem radu pretpostavljamo da je osnovni prostor verovatnoće (Ω, F, P )prostor (S ′ (R d ), B, µ).Sa (L) 2 ćemo označavati kvadratno integrabilne funkcije na S ′ (R d ) uodnosu na meru belog šuma ili opštije(L) p = L p (S ′ (R d ), µ), 1 ≤ p ≤ ∞. (2.8)Prostor (L) 2 je Hilbertov, a skalarni proizvod u njemu je dat sa(F |G) (L) 2 = E µ (F G). (2.9)Teorema 2.1.2 Neka su ξ 1 , . . . , ξ n funkcije iz S(R d ) koje su ortonormiraneu L 2 (R d ). Neka je dλ n (x) = (2π) − n 2 e − 1 2 |x|2 dx 1 · · · dx n Gaussova mera na R n ,x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ R n . Tada n-dimenzionalna slučajna promenljivaω ↦→ (〈ω, ξ 1 〉, . . . , 〈ω, ξ n 〉) (2.10)ima raspodelu λ n , odnosno∫E µ (f(〈·, ξ 1 〉, · · · , 〈·, ξ n 〉)) = f(x)dλ n (x)R n (2.11)za svako f ∈ L 1 (R n , dλ n ).