pdf - Univerzitet u Novom Sadu

1.2 Osnovi stohastičke analize 33Itôv integralKako su trajektorije Brownovog kretanja funkcije neograničene varijacije,nemoguće je definisati integral u Lebesgue-Stiltjesovom smislu. Ovde dajemokratak opis konstrukcije tzv. Itôvog integrala (jednostavnosti radi u jednojdimenziji). Prostor (Ω, F, P ) je prostor verovatnoće, B t označava Brownovokretanje, a B je Borelova σ-algebra na R.Neka je preslikavanje f : R + × Ω → R merljivo u odnosu na B × F iadaptirano standardnom Brownovom filteru, takvo da je∫E( f(t, ω) 2 dt) < ∞. (1.88)1. Ako je f stepenasta funkcija oblika f(t, ω) = ∑ j e j(ω)χ [tj ,t j+1 ](t), tadase Itôv integral definiše kao∫f(t, ω)dB t (ω) = ∑ e j (ω)(B tj+1 − B tj ). (1.89)j2. Ako je f proizvoljna funkcija, ona se može u L 2 smislu aproksimiratinizom stepenastih funkcija f n tako da E (∫ (f(t, ω) − f n (t, ω)) 2 dt ) → 0,n → ∞. Tada se Itôv integral definiše kao∫∫f(t, ω)dB t (ω) = lim n→∞ f n (t, ω)dB t (ω) (1.90)gde je limit u L 2 -smislu.Važi da je Itôv integral martingal tj. E( ∫ tf(τ, ω)dB 0 τ(ω)|F s ) = ∫ sf(τ, ω)dB 0 τ(ω),za proizvoljno s ≤ t.Sa ̂L 2 (R n ) označavamo simetrične funkcije po n-promenljivih prostoraL 2 (R n ).Definicija 1.2.28 Neka je ψ ∈ ̂L 2 (R n ). Definišimo n-tostruki Itôv integralkao∫I n (ψ) = ψdB ⊗n =R n= n!∫ ∞ ∫ tn−∞−∞· · ·∫ t2−∞ψ(t 1 , t 2 , . . . , t n )dB(t 1 )dB(t 2 ) · · · dB(t n ) (1.91)gde su na desnoj strani n iteriranih jednostrukih Itôvih integrala.