pdf - Univerzitet u Novom Sadu

16 Uvod1.1.6 Schwartzov prostor S(R d )Koristimo oznake: α = (α 1 , . . . , α d ) ∈ N d 0 za multiindekse, D α = ∂ α 11 · · · ∂ α ddza izvod i x α = x α 11 · · · x α ddza stepenovanje elementa x = (x 1 , . . . , x d ) ∈ R d .Dužina multiindeksa α se definiše kao |α| = α 1 + α 2 + · · · + α d .Definicija 1.1.35 Schwartzov prostor brzo opadajućih funkcija je prostorS(R d ) = {f ∈ C ∞ (R d ) : ∀α, β ∈ N d 0, ‖f‖ α,β < ∞}gde je seminorma ‖ · ‖ α,β definisana sa‖f‖ α,β = supx∈R d |x α D β f(x)|, α, β ∈ N d 0. (1.39)Topologija na S(R d ) je data familijom seminormi ‖ · ‖ α,β .Teorema 1.1.28 Prostor S(R d ) je nuklearan prebrojiv Hilbertov.Definicija 1.1.36 Schwartzov prostor sporo rastućih (temperiranih) distribucijaje dualni prostor S ′ (R d ).Ekvivalentna konstrukcija topologije prostora S(R d ) se može dobiti pomoćusamoadjungovanog operatoraA = −△ + |x| 2 + 1gde je △ laplasijan. Posmatrajmo Hilbertov prostora L 2 (R d ) sa standardnomL 2 (R d )-normom koju ćemo iz tehničkih razloga označiti sa | · | 0 . Operator Aje gusto definisan u L 2 (R d ), tačnije njegov domen sadrži S(R d ).Teorema 1.1.29 Operator A je samoadjungovan. Hermiteove funkcije {η n }koje čine ortonormiranu bazu prostora L 2 (R d ) su karakteristični vektori operatoraA, odnosnoAη n = λ n η ngde je {λ n = 2(n 1 + · · · + n d ) − d + 1 : (n 1 , . . . , n d ) ∈ N d 0} spektar operatoraA.Kako nula ne pripada spektru operatora A, sledi da postoji inverznioperator A −1 koji je ograničen, i njegova norma je data sa ‖A −1 ‖ = 1 λ 1.