pdf - Univerzitet u Novom Sadu

8 UvodDefinicija 1.1.16 Tenzorski proizvod Hilbertovih prostora, u oznaci H 1 ⊗H 2je kompletiranje prostora H 1 ˜⊗H 2 u odnosu na normu ‖ · ‖ ⊗ .Indukcijom se lako može definisati tenzorski proizvod konačno mnogo Hilbertovihprostora.Definicija 1.1.17 Za proizvoljno n ∈ N definišemo n-ti tenzorski stepenkompleksnog Hilbertovog prostora kaoF (n) (H) = H}⊗ ·{{· · ⊗ H}= H ⊗n (1.12)npri čemu usvajamo da je F (0) (H) = C.označavamo sa ‖ · ‖ F (H). (n)Odgovarajuću tenzorsku normuSpecijalno, ako je H separabilan, F (n) (H) se može definisati kao prostor n-multilinearnih formi F nad H sa konačnom Hilbert-Schmidtovom normom.Hilbert-Schmidtova norma elementa F ∈ F (n) (H) je data sa‖F ‖ 2 HS = ∑ k∈N n |F (e k1 , . . . , e kn )| 2 ,gde je {e k } potpun ortonormirani sistem prostora H. Važi da je‖F ‖ 2 HS = ‖F ‖ F (n) (H). (1.13)Definicija 1.1.18 Neka su ϕ 1 , . . . , ϕ n ∈ H. Simetrizacija tenzorskog proizvodaje data saϕ 1 ̂⊗ · · · ̂⊗ϕ n = 1 ∑ϕ π(1) ⊗ · · · ⊗ ϕ π(n) (1.14)n!π∈P erm(n)gde je P erm(n) grupa permutacija prvih n prirodnih brojeva.Definicija 1.1.19 Za proizvoljno n ∈ N definišemo n-ti simetrični tenzorskistepen kompleksnog Hilbertovog prostora HΓ (n) (H) = H}̂⊗ ·{{· · ̂⊗H}= H ̂⊗nn(1.15)kao kompletiranje lineala simetričnih tenzorskih proizvoda elemenata iz H unormi ‖ · ‖ Γ (n) (H) indukovanoj skalarnim proizvodom(̂⊗ n i=1ϕ i |̂⊗ n i=1ψ i ) Γ (n) (H) =∑π∈P erm(n)(ϕ 1 |ψ π(1) ) · · · (ϕ n |ψ π(n) ). (1.16)