pdf - Univerzitet u Novom Sadu

1.2 Osnovi stohastičke analize 27Normalna raspodelaDefinicija 1.2.16 Slučajan vektor X = (X 1 , X 2 , . . . , X n ) ima n-dimenzionalnunormalnu (Gaussovu) raspodelu sa parametrima m i B, što označavamosa X : N(m, B), gde je m = (m 1 , m 2 , . . . , m n ) ∈ R n , i B je regularna,simetrična, pozitivno semidefinitna matrica, ako je njena funkcija gustinedata sa√det Aϕ(x 1 , x 2 , . . . , x n ) = e − 1(2π) n 2 (x−m)T A(x−m)(1.74)2za x = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) ∈ R n , i A je inverzna matrica za B.Teorema 1.2.4 Neka je X = (X 1 , X 2 , . . . , X n ) slučajan vektor sa normalnomX : N(m, B) raspodelom. Tada važi:1. Parametar m je vektor matematičkih očekivanja komponenti slučajnogvektora X tj.E(X k ) = m k , k = 1, 2, . . . , n ,gde je m = (m 1 , m 2 , . . . , m n ).2. Matrica B je kovarijaciona matrica slučajnog vektora X.Teorema 1.2.5 Neka je X slučajna promenljiva sa n-dimenzionalnom normalnomraspodelom X : N(m, B). Tada je karakteristična funkcija slučajnogvektora X data saf(t 1 , t 2 , . . . , t n ) = e i(t|m)− 1 2 tT Bt , (1.75)gde je t = (t 1 , t 2 , . . . , t n ).Teorema 1.2.6 Neka je X = (X 1 , X 2 , . . . , X n ) proizvoljan slučajan vektor.1. Ako X ima n-dimenzionalnu normalnu raspodelu X : N(m, B), tada zaproizvoljne λ 1 , λ 2 , . . . , λ n ∈ R takve da postoji bar jedno λ i ≠ 0, važi daslučajna promenljivak=1n ∑k=1λ k X k ima normalnu raspodelun∑n∑λ k X k : N( λ k m k ; λ T Bλ). (1.76)k=1∑2. Ako za sve λ 1 , λ 2 , . . . , λ n ∈ R važi da linearna kombinacija n λ k X kima normalnu raspodelu, tada slučajan vektor X ima n-dimenzionalnunormalnu raspodelu.k=1