pdf - Univerzitet u Novom Sadu

2.2 Wiener-Itôva haos ekspanzija 43gde smo u poslednjem koraku koristili ortogonalnosti Hermiteovih polinoma.Kako je familija stohastičkih polinoma gusta u (L) 2 , proizvoljan element f ∈(L) 2 se može aproksimirati po ‖ · ‖ (L) 2 normi stohastičkim polinomom oblikaP n (ω) = f n (〈ω, η 1 〉, . . . , 〈ω, η n 〉). Polinom f n (x 1 , . . . , x n ) se može napisati kaolinearna kombinacija proizvoda ermitskih polinoma,f n (x 1 , . . . , x n ) = ∑ αc αn∏i=1h αi (x i ).Tada je P n (ω) = ∑ α c α∏ ni=1 h α i(〈ω, η i 〉) = ∑ α c αH α (ω). □Teorema 2.2.2 (Haos ekspanzija I) Proizvoljan element F ∈ (L) 2,m,Nima jedinstvenu reprezentaciju oblikaF (ω) = ∑ α∈Ic α H (m)α (ω), c α ∈ R N (2.24)tako da važi‖F ‖ 2 (L) 2,m,N = ∑ α∈Iα!c 2 α (2.25)gde je c 2 α = (c α |c α ) standardni skalarni proizvod u R N .Dokaz: Sledi iz prethodne teoreme, primenjujući je po komponentama (L) 2,mprostora (L) 2,m,N . □Relaciju (2.24) shvatamo u smislu da red konvergira u (L) 2,m,N . Iz ortogonalnostifamilije H α(m) sledi da su koeficijenti ekspanzije c α dati na sledećinačin: i-ta komponenta koeficijenta c α u razvoju elementa F = (F 1 , . . . , F N )jec i α = 1 α! E µ m(F i H (m)α ), i = 1, 2, . . . N.Koeficijent c 0 koji stoji uz multiindeks α = (0, 0, . . .) jeste upravo matematičkoočekivanje elementa F (ω).Wiener-Itôva haos ekspanzija se može dati i preko Itôvih integrala. Pretpostavimojednostavnosti radi da su N = 1, m = 1, d = 1, a u višedimenzionalnomslučaju se lako prelazi na odgovarajući tenzorski proizvod.Teorema 2.2.3 (Itô,1951) Neka je α = (α 1 , . . . , α k ) multiindeks dužine|α| = n. Tada je∫R n ξ ˆ⊗α dB ⊗n =k∏h αj (〈ω, ξ j 〉) = H α (ω) (2.26)j=1gde smo koristili notaciju da je ξ ˆ⊗α = ξ ˆ⊗α 11ˆ⊗ · · · ˆ⊗ξ ˆ⊗α kk.