pdf - Univerzitet u Novom Sadu

2.1 Prostor verovatnoće belog šuma 41Teorema 2.1.7 Familija stohastičkih polinoma (za N = 1, 2, . . .) i linearnaobvojnica familije stohastičkih eksponencijala su gusti skupovi u (L) p , p ≥ 1.U višedimenzionalnom slučaju, za dato m ∈ N definišemoS =m∏S(R d ), S ′ =i=1m∏S ′ (R d ),i=1prostor S ′ snabdevamo Borelovom σ-algebrom proizvoda i odgovarajućimproizvodom mera µ m = µ × · · · × µ . Dejstvo elementa ω = (ω} {{ }1 , . . . , ω m ) ∈ S ′mna element φ = (φ 1 , . . . , φ m ) ∈ S je dato saUred¯enu trojku〈ω, φ〉 = 〈ω 1 , φ 1 〉 + · · · + 〈ω m , φ m 〉.(S ′ , B, µ m )nazivamo m-dimenzionalni d-parametarski prostor verovatnoće belog šuma.Slično kao i u jednodimenzionalnom slučaju mogu se definisati m-dimenzionalnoBrownovo kretanje i koordinatni proces uglačanog belog šuma kao (klasični)m-dimenzionalni stohastički procesi (m-torka jednodimenzionalnih nezavisnihprocesa).Sa (L) 2,m ćemo označavati kvadratno integrabilne funkcije na S ′ u odnosuna meru m-dimenzionalnog belog šuma, odnosnoNeka je(L) 2,m = L 2 (S ′ , µ m ). (2.20)K =m⊕L 2 (R d )k=1ortogonalna suma m identičnih kopija prostora L 2 (R d ). Prostor K je Hilbertov,a norma na njemu je data sa |φ| K = ( ∑ mk=1 |φ k| 2 ) 1 2.Neka su d parametar belog šuma i m dimenzija belog šuma fiksirani. Nekaje N dimenzija prostora stanja belog šuma. Stavimo da je(L) 2,m,N =N⊕k=1(L) 2,mdirektna suma N identičnih kopija prostora m-dimenzionalnog belog šuma,( ∑N) 1snabdevena normom |f| N =k=1 |f n| 2 2K .