pdf - Univerzitet u Novom Sadu

4 UvodDefinicija 1.1.7 Dualni prostor vektorsko topološkog prostora V , u oznaciV ′ je prostor svih linearnih neprekidnih funkcioneli nad prostorom V .Dualno sparivanje elementa iz V ′ i elementa iz V označavamo sa 〈·, ·〉.Definicija 1.1.8 Najgrublja topologija na V ′ u odnosu na koju je, za fiksiranox ∈ V , svako preslikavanje V ′ → C dato sa L ↦→ 〈L, x〉, L ∈ V ′neprekidno naziva se slaba topologija.Ekvivalentno, slaba topologija ima bazu okolina nule datu familijom skupovaoblikaB(x 1 , . . . , x k ; ε) = {L ∈ V ′ : |〈L, x j 〉| < ε, j = 1, . . . , k}gde su x 1 , . . . , x k ∈ V , ε > 0, k ∈ N.U lokalno konveksnom prostoru E, kažemo da je skup A ograničen, akoza svaku okolinu nule N postoji c > 0 tako da je A ⊆ cN. Specijalno, ako jeprostor E prebrojiv Hilbertov, skup A je ograničen akko je sup x∈E |x| n < ∞za sve n ∈ N.Definicija 1.1.9 Na dualnom prostoru prebrojivo Hilbertovog prostora, E ′je jaka topologija definisana bazom okolina nule koju čini familija skupovaB(A; ε) = {L ∈ E ′ : sup x∈A |〈L, x〉| < ε}gde skup A prolazi familijom ograničenih skupova i ε > 0.Jasno, jaka topologija na E ′ je finija od slabe topologije. Inkluzije E n ′ ⊆E ′ su neprekidne i E n ′ je gust po jakoj topologiji u E ′ .Specijalno, u normiranom prostoru V , jaka topologija na V ′ je indukovananormom‖L‖ = sup |〈L, x〉|. (1.4)‖x‖≤1Teorema 1.1.3 Dual prebrojivog Hilbertovog prostora je kompletan u jakojtopologiji.Teorema 1.1.4 Prebrojiv Hilbertov prostor je refleksivan.Sa E −p označavamo dualni prostor od E p . Time dobijamo rastući lanacHilbertovih prostoraE 0 ⊆ E −1 ⊆ . . . E −p ⊆ E −(p+1) . . . ,pri čemu za svako p ∈ N 0 imamo neprekidne inkluzije oblika E p ⊆ E 0 ⊆ E −p .Označimo sa E ′ njihovu uniju E ′ = ⋃ p∈N 0E −p snabdevenu induktivnomtopologijom. Kako je E gust u svakom E p , dual od E je u algebarskomsmislu jednak sa E ′ i pri tome važi: