Poglavje 3 Osnovni pojmi dinamike

88 Poglavje 5. DINAMIKA - OBRAVNAVA MATERIALNIH TELES MED GIBANJEMZa preostali koordinati velja:(ÿ ∂ y = d ∂ ẏ 22∂ q 1 dt(∂ ż 2¨z ∂ z∂ q 1= d dt∂ ˙q 1))2∂ ˙q 1− ∂ ẏ22∂ q 1(5.25)− ∂ ż22∂ q 1(5.26)Vstavimo v poenostavljeno D’Alambertovo enačbo 5.10 izraze 5.24, 5.25 in 5.26:( ( )d ∂ m (ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 )δW q1 =− ∂ m (ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 )dt ∂ ˙q 1 2 ∂ q 1 2=)δq 1(F x∂ x∂ q 1+ F y∂ y∂ q 1+ F z∂ z∂ q 1)δq 1 (5.27)Izraz 1 2 m (ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) je kinetična energija masnega delca, tako lahko pišemo:ddt( ∂ K∂ ˙q 1)− ∂ K∂ q 1= F x∂ x∂ q 1+ F y∂ y∂ q 1+ F z∂ z∂ q 1(5.28)Enako bi izpeljali enačbo za virtualno delo W q2 opravljeno zaradi spremembe q 2 :ddt( ∂ K∂ ˙q 2)− ∂ K∂ q 2= F x∂ x∂ q 2+ F y∂ y∂ q 2+ F z∂ z∂ q 2(5.29)Za poljubno posplošeno koordinato uporabimo naslednjo okrajšavo:F x∂ x∂ q r+ F y∂ y∂ q r+ F z∂ z∂ q r= F qr (5.30)F qr bomo imenovali generalizirana sila. Tako moremo napisati Lagrangeovo enačbo v kompaktniobliki:( )d ∂ K− ∂ K = F qr (5.31)dt ∂ ˙q r ∂ q rKasneje se bomo prepričali, da ima Lagrangeova enačba za gibanje sistema z več delci prav enakoobliko. Za primer delca z dvema prostostnima stopnjama smo dobili dve Lagrangeovi enačbi. V splošnemvelja, da imamo toliko Lagrangeovih enačb, kolikor ima sistem stopenj prostosti. Diferencialnoenačbo gibanja nekega sistema dobimo tako, da opravimo vse operacije, ki jih narekuje Lagrangeovaenačba. Za sistem, ki ima n prostostnih stopenj, sme izraz za kinetično energijo vsebovati le nkoordinat.Poglejmo si pobliže koncept generalizirane sile. Za takšno virtualno delo δW , kjer se δ⃗s ujema zomejitvijo in je pomik opravljen le vzdolž q 1 (δq 2 = 0), velja:δx = ∂ x∂ q 1δq 1δy = ∂ y∂ q 1δq 1δz = ∂ z∂ q 1δq 1 (5.32)