Poglavje 3 Osnovni pojmi dinamike

112 Poglavje 5. DINAMIKA - OBRAVNAVA MATERIALNIH TELES MED GIBANJEM5.3.4 Vztrajnostni elipsoidIzberimo sedaj neko točko p 1 (x 1 ,y 1 ,z 1 ) na poltraku Oa 1 , tako da je razdalja do koordinatnega izhodiščaenaka S 1 .Glede na definicijo smernih kosinusov pišemo:x 1 = S 1 l y 1 = S 1 m z 1 = S 1 n (5.162)Če vstavimo smerne kosinuse l,m,n v splošni izraz za vztrajnostni moment togega telesa okrogpoljubne osi, dobimo:J Oa1 S 1 2 = J x x 1 2 + J y y 1 2 + J z z 1 2 − 2J xy x 1 y 1 − 2J xz x 1 z 1 − 2J yz y 1 z 1 (5.163)Vzemimo sedaj neko drugo premico Oa 2 . Na njej izberimo točko p 2 (x 2 ,y 2 ,z 2 ), ki naj bo na razdaljiS 2 od koordinatnega izhodišča. Za to premico bi lahko zapisali enak izraz:J Oa2 S 2 2 = J x x 2 2 + J y y 2 2 + J z z 2 2 − 2J xy x 2 y 2 − 2J xz x 2 z 2 − 2J yz y 2 z 2 (5.164)Takšne enačbe lahko zapišemo za vse premice, ki potekajo skozi koordinatno izhodišče O.Sedaj pa si predstavljajmo šop premic, ki jih potegnemo v različnih smereh skozi koordinatnoizhodišče O. Na vsaki premici izberemo takšen S, da bo veljala enakost:Potem velja tudi naslednja splošna enačba:J Oa S 2 = 1 (5.165)J x x 2 + J y y 2 + J z z 2 − 2J xy xy − 2J xz xz − 2J yz y z = 1 (5.166)Dobili smo enačbo površine elipsoida. Ta elipsoid imenujmo vztrajnostni elipsoid in je povsemdoločeno orientiran glede na osi x, y in z koordinatnega sistema.Enačbo elipsoida lahko zapišemo za katerikoli predmet: segment robota ali človeka , kamen,stol,... Takšnih elipsoidov pa lahko sestavimo neskončno mnogo glede na različne položaje izhodiščakoordinatnega sistema in glede na različne orientacije koordinatnih osi. Prav tako bi lahko zapisalitudi J Oa S 2 = C, tako da bi dobili elipsoid primerne velikosti.Iz Steinerjevega izreka J = J 0 + m d 2 pa je razvidno, da je za vse paralelne osi najmanjši ravnotisti moment, katerega pripadajoča os gre skozi težišče. Skozi težišče pa gre neskončno mnogo osi.Zanimajo nas take osi skozi težišče, kjer doseže vztrajnostni moment ekstremno vrednost. Izkaže se,da so pri poljubnem telesu 3 takšne osi, pri katerih je izpolnjen potrebni pogoj za nastop ekstrema. Toso obenem tudi lastni vektorji tenzorja vztrajnostnih momentov J.Postavimo osi x, y in z vzdolž premerov 2a, 2b in 2c poljubnega elipsoida. Enačba površine imapotem obliko:x 2a + y22 b + z22 c = 1 (5.167)2Enako velja tudi za primer, ko koordinatne osi x, y, z sovpadajo s osmi vztrajnostnega elipsoida:J x p x 2 + J y p y 2 + J z p z 2 = 1 (5.168)