Poglavje 3 Osnovni pojmi dinamike

94 Poglavje 5. DINAMIKA - OBRAVNAVA MATERIALNIH TELES MED GIBANJEMV gornjih enačbah so odvečne koordinate že eliminirane. V enačbah imamo tudi čas t, kar pomeni,da gre bodisi za gibajoče omejitve ali gibljiv koordinatni sistem ali za oboje hkrati.Za pomike, ki so v skladu z omejitvami veljaδx i = ∂ x i∂ q 1δq 1 + ∂ x 1∂ q 2δq 2 + ... + ∂ x 1∂ x nδq n (5.65)za konstanten čas t.Enačbe za pomike vstavimo v D’Alembertovo enačbo:...+=...+p∑()∂ x i ∂ y i ∂ z im i ẍ i + ÿ i + ¨z i δq 1 + ...∂ q 1 ∂ q 1 ∂ q 1p∑()∂ x i ∂ y i ∂ z im i ẍ i + ÿ i + ¨z i δq n =∂ q n ∂ q n ∂ q np∑()∂ x i ∂ y i ∂ z iF xi + F yi + F zi δq 1 + ...∂ q 1 ∂ q 1 ∂ q 1p∑()∂ x i ∂ y i ∂ z iF xi + F yi + F zi δq n (5.66)∂ q n ∂ q n ∂ q ni=1i=1i=1i=1Spremenljivke q 1 , q 2 ,..., q n so neodvisne. Vsak delec lahko zavzame poljuben položaj ne glede napoložaj drugih delcev. S tem niso prekršene enačbe omejitev. Zato smemo predpostaviti, da so vsipremiki razen δq 1 , enaki nič. Zgornja enačba se potem skrajša na naslednjo obliko:p∑()∂ x i ∂ y i ∂ z iδW q1 = m i ẍ i + ÿ i + ¨z i δq 1 =∂ qi=1 1 ∂ q 1 ∂ q 1p∑()∂ x i ∂ y i ∂ z i= F xi + F yi + F zi δq 1 (5.67)∂ q 1 ∂ q 1 ∂ q 1i=1Potem, ko opravimo enake matematične izpeljave, ki smo jih uvedli pri sistemu z enim samim delcem,dobimo:( (d ∂p∑ 1δW q1 =dt ∂ ˙q 1 2 m (ẋ2 ) )i i + ẏi 2 + żi 2 − ∂ p∑ 1∂ qi=11 2 m (ẋ2 ) )i i + ẏi 2 + żi2 δq 1 =i=1p∑()∂ x i ∂ y i ∂ z i= F xi + F yi + F zi δq 1 (5.68)∂ q 1 ∂ q 1 ∂ q 1i=1Tako dobimo za posamične koordinate q 1 , q 2 ,..., q n povsem enake Lagrangeove enačbe, kot smo jihdobili v primeru enega masnega delca:( )d ∂ K− ∂ K = F qr (5.69)dt ∂ ˙q r ∂ q r