Poglavje 3 Osnovni pojmi dinamike

106 Poglavje 5. DINAMIKA - OBRAVNAVA MATERIALNIH TELES MED GIBANJEMTu smo zaznamovali z σ specifično gostoto snovi v točki s koordinatami x,y,z. Podobno dobimovztrajnostni moment za osi x in y, ki sta∫∫∫J x = σ ( y 2 + z 2) dxdy dzV∫∫∫J y = σ ( x 2 + z 2) dxdy dz (5.131)VPrimer 5.9 Kot zgled poglejmo najprej vztrajnostni moment homogenega pokončnega valja kot kažeslika 5.11.hRωdρρSlika 5.11: Vztrajnostni moment valjaNaj bo polmer valja R in višina h. Mislimo si, da je valj razrezan na tanke plasti, ki imajo oblikocevi, s skupno osjo. Če je debelina ene take cevi dρ in polmer ρ, je masa dm = σ h 2π ρdρ. Vse tetočke v plasti so za ρ oddaljene od osi vrtenja. Vztrajnostni moment valja je potemJ =∫ R0ρ 2 σ h 2π ρdρ = 2π σ h∫ R0ρ 3 dρ = π σ h R42Ker je m = π σ R 2 h masa valja, se vztrajnostni moment poenostavljeno glasi:J = m R22(5.132)(5.133)Primer 5.10 Poglejmo si vztrajnostni moment kvadra kot ga prikazuje slika 5.12.Naj bodo robovi kvadra a,b,c in os naj spaja središči obeh osnovnih ploskev. Če je to obenem osz in so robovi vzporedni z osmi x,y,z je vztrajnostni moment analogno glede na prejšnji primer:J z = σ c∫∫ (x 2 + y 2) dxdy = σ c∫ a/2−a/2dx∫ b/2−b/2(x 2 + y 2) dy = σ a bc (a2 + b 2 )12△= m (a2 + b 2 )12(5.134)