Veröffentlichung 45_2010 - Philipps-Universität Marburg

Modulbezeichnung Differentialgeometrie I
Leistungspunkte 9
Inhalt • Flächen im dreidimensionalen Raum, Strukturgleichungen, erste und
zweite Fundamentalform, Gauss'sche und mittlere Krümmung,
• Beispiele von besonderen Flächen (Drehflächen, Regelflächen,
Minimalflächen...), Fundamentalsatz der Flächentheorie
• Grundlagen der Riemann'schen Geometrie: Riemann'sche
Mannigfaltigkeiten, Zusammenhänge und kovariante Ableitungen,
Krümmungstensor und abgeleitete Krümmungsgrößen, Einstein-
Räume, Räume konstanter Schnittkrümmung, geodätische Kurven,
geodätische Koordinaten, Exponentialabbildung,
Vollständigkeitseigenschaften (innere Metrik, Satz von Hopf-Rinow)
• physikalische Anwendungen der Differentialgeometrie, etwa in
spezieller oder allgemeiner Relativitätstheorie
Qualifikationsziel Die Studierenden sollen
• ihr Verständnis gekrümmter Räume weiterentwickeln und ihre
mathematische Intuition in geometrischem Zusammenhang schärfen,
• lernen, mathematische Eigenschaften koordinatenfrei zu erfassen und
zu beschreiben,
• geometrische Extremaleigenschaften (etwa bei Krümmung oder
Kurvenlänge) mit physikalischen Variationsprinzipien in Verbindung
zu setzen
• mathematische Arbeitsweisen einüben (Entwickeln von
mathematischer Intuition und deren formaler Begründung, Schulung
des Abstraktionsvermögens, Beweisführung),
• in den Übungen ihre mündliche Kommunikationsfähigkeit durch
Einüben der freien Rede vor einem Publikum und bei der Diskussion
Lehr- und Lernformen,
Veranstaltungstypen
verbessern.
Vorlesung (4 SWS) und Übung (2 SWS)
Voraussetzungen für Kompetenzen, die in den Grundmodulen Analysis und Lineare Algebra,
die Teilnahme sowie im Modul Analysis III vermittelt werden.
Verwendbarkeit des Aufbaumodul in Reiner Mathematik, Wahlpflichtmodul in den
Moduls
mathematischen Bachelor- und Masterstudiengängen, Grundlage für
mögliche Vertiefung in Analysis, Differentialgeometrie oder komplexer
Geometrie
Voraussetzungen für Die Modulprüfung besteht aus einer Klausur oder einer mündlichen
die Vergabe von Prüfung. Für die Modulprüfung ist das Lösen und die Präsentation von
Leistungspunkten Übungsaufgaben Zulassungsvoraussetzung.
Noten Note der Modulprüfung
Turnus des Angebots Regelmäßig im Wechsel mit anderen Aufbaumodulen im Gebiet
Analysis/Geometrie
Arbeitsaufwand 90 Std. Präsenzzeit, 180 Std. für das Selbststudium
Dauer des Moduls Ein Semester
Modulverantwortliche Prof. Agricola, Prof. Ramacher
Literatur Barret O'Neill, Semi-Riemannian geometry. Academic Press, 1983.
Michael Spivak, A comprehensive introduction to differential
geometry, Berkeley, California: Publish Perish, Inc.
Modulhandbuch Bachelor Wirtschaftsmathematik 28