5 Entwurfsmethoden für Algorithmen

Beispiel 5.2.1 (Aufzählungsbaum für das 8er Puzzle). Als weiteres Beispiel für die Darstellung
des Lösungsraums eines Problems durch einen Aufzählungsbaum betrachten wir das 8er Puzzle:
8 7 1 2 3
4 3 5
4 5 6
1 6 2 7 8
Wir starten mit einer Anfangskonfiguration, in dem 8 Plättchen, die von 1 bis 8 numeriert sind
auf einem 3 × 3-Spielfeld angeordnet sind. Zugmöglichkeiten bestehen immer nur darin, eines
der Plättchen, welches dem leeren Feld benachbart ist, auf das leere Feld zu verschieben. Gesucht
ist eine Zugfolge, welche die Anfangskonfiguration in die Zielkonfiguration, in der die
Plättchen – wie oben skizziert – sortiert sind, überführt.
Zunächst handelt es sich hierbei um ein Erreichbarkeitsproblem in einem Graphen, dessen Knoten
die Konfigurationen und Kanten die jeweiligen Zugmöglichkeiten sind. Für das 8er Puzzle
hat man es mit einem Graphen mit rund 9! = 362.880 Knoten zu tun. Wesentlich dramatischer
ist die Situation beim 15-Puzzle, bei dem ein Graph mit ca. 16! ≈ 20.9 ∗ 10 12 Knoten zu untersuchen
ist. Geht man davon aus, daß 10 8 Knoten pro Sekunde erzeugt werden können, muß
man sich immer noch ca. 40 Tage gedulden bis sämtliche Knoten generiert wurden. Offenbar
benötigt man hierzu (sowie für das (n 2 − 1)er Puzzle mit n ≥ 6) einige zusätzlichen Tricks,
welche die Suche nach einem Pfad zur Zielkonfiguration beschleunigen. Mehr dazu später.
Der Aufzählungsbaum für das (n 2 − 1)er Puzzle ergibt sich durch “Abwickeln” des Konfigurationsgraphen
in einen Baum. Die Wurzel steht für die Anfangskonfiguration, jeder andere Knoten
für eine Zugfolge, die intuitiv mit der letzten Konfiguration identifiziert werden kann. Die
Blätter stehen für die (Pfade zur) Zielkonfiguration und stellen somit die Lösungen dar. Man beachte,
dass der Aufzählungsbaum unendlich ist, sofern nicht die Einschränkung gemacht wird,
daß jede Konfiguration höchstens einmal “besucht” werden darf.
Das Konzept von Aufzählungsbäumen dient lediglich der Anschauung. Für ein gegebenes Problem
kann es sehr viele völlig verschiedene Aufzählungsbäume geben. Diese dienen nur als
gedankliche Hilfestellung für den Entwurf (und die Analyse) eines Backtracking oder Branch
& Bound Algorithmus. Letztendlich wird der Aufzählungsbaum nicht explizit konstruiert. Die
prinzipielle Vorgehensweise von Backtracking besteht darin, die Knoten dynamisch im Preorder-
Prinzip zu generieren und nur solche Knoten zu expandieren (d.h. deren Teilbäume zu erzeugen),
für die gewisse Randbedingungen erfüllt sind. Die komplette Analyse des Aufzählungsbaums
würde dagegen einem naiven Algorithmus, der “alle Möglichkeiten ausprobiert”, entsprechen.
Auch das “Generieren” der Knoten des Aufzählungsbaums ist bildlich zu verstehen. Tatsächlich
genügt es oftmals, nur die letzte Komponente xn eines Knotens x = 〈x1,...,xn〉 darzustellen.
Die vorangegangenen Komponenten xi, i = n − 1,n − 2,...,1, ergeben sich aus dem “inversen
Weg” von dem Knoten x zur Wurzel. Branch & Bound zielt darauf ab, große Teile des Aufzählungsbaums
einzusparen (d.h. gar nicht erst zu generieren). Dies wird durch den Einsatz
von Heuristiken erreicht, welche die Reihenfolge festlegen, in welcher die Knoten expandiert
werden.
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