5 Entwurfsmethoden für Algorithmen

monotone Funktion mit f(0) = 0 und f(n) ≥ 1 für n ≥ 1, so können die Konstanten a,A klein
bzw. groß genug gewählt werden, um a f(m) ≤ T(m) ≤ A f(m) für alle m < n0 zu erzwingen.
Hiervon machen wir Gebrauch, indem wir f(n) = n k im ersten Fall setzen, f(n) = n k logn im
zweiten Fall und f(n) = n r im dritten Fall.
Wie bereits erwähnt gehen wir lässig mit den Zahlen din um und behandeln diese wie ganze
Zahlen, wobei din < n vorausgesetzt wird.
1. Fall. Wir beginnen mit dem Fall m
∑ di < 1.
i=1
Die Tatsache, daß T(n) = Ω(n k ) folgt sofort aus der Beziehung T(n) = Θ(n k )+∑i T(...). Wir
weisen nun die obere SchrankeO(n k ) nach. Zu zeigen ist, daß es eine Konstante C > 0 gibt,
so daß T(n) ≤ Cn k für hinreichend großes n. Dies weisen wir mit dem Prinzip der induktiven
Ersetzung nach und nehmen dabei an, daß T(m) ≤ Cm k für m < n.
T(n) ≤
Man beachte, daß 0 < D < 1. Es gilt:
≤
m
∑
i=1
m
∑
i=1
T(din) + An k
Cd k i n k + An k
= n k
· A + C
m
∑ d
i=1
k i
=:D
= n k · A+C · D
A+CD ≤ C gdw A ≤ C(1 − D) gdw C ≥ A
1−D
Also können wir C ≥ max A, A
A
1−D = 1−D wählen und erhalten T(n) ≤ Cnk für alle n ≥ 0 und
somit T(n) =O(n k ).
2. Fall. Wir diskutieren nun den Fall m
∑ d
i=1
k i
= 1.
Für die obere Schranke ist der Nachweis zu führen, daß T(n) ≤ Cn k logn für eine geeignet
zu wählende positive Konstante C. Auch hier arbeiten wir zunächst heuristisch und nehmen
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