5 Entwurfsmethoden für Algorithmen

Algorithmus 54 Schema der Least Cost-Methode für Maximierungsprobleme
(*T sei der Aufzählungsbaum für ein Maximierungsproblem *)
Initialisiere eine Priority Queue (Maximumsheap) Q, die den Wurzelknoten vonT als einziges
Element enthält;
(* Ordnung der Elemente von Q ist durch die oberen Schranken ub(·) gegeben *)
WHILE Q = /0 DO
v := EXTRACT_MAX(Q);
IF v ist ein Blatt THEN
gib ub(v) aus und halte an
FI
FOR ALL Söhne w von v inT DO
berechne ub(w) und füge w in Q ein
OD
OD
(* v stellt eine optimale Lösung dar *)
(* Expandiere Knoten v, d.h. *)
(*generiere die Söhne von v *)
Satz 5.2.10 (Partielle Korrektheit der LC-Methode). Unter den obigen Voraussetzungen (1) und
(2) stellt das erste Blatt, welches die LC-Methode der Priority Queue entnimmt, eine optimale
Lösung dar.
Beweis. Sei z das erste Blatt, welches die LC-Methode findet und y ein beliebiges anderes Blatt
im Aufzählungsbaum. Zu zeigen ist, dass value(y) ≤ value(z).
Die BFS-ähnliche Vorgehensweise der LC-Methode, mit der jeder innere Knoten v, welcher
der Priority Queue Q entnommen wird, durch seine Söhne ersetzt wird, stellt sicher, dass es zu
jedem noch nicht besuchten Knoten w einen Knoten x in Q gibt, so dass sich w im Teilbaum
von x befindet. Wir wenden diese Aussage auf das Blatt w = y an.
Nach Definition von opt(x) ist
z
opt(x) = max value(y ′ ) : y ′ ist Blatt im Teilbaum von x ≥ value(y).
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x
y