5 Entwurfsmethoden für Algorithmen

D.h. der Spielzug v → w führt zu einer Bewertung, die höchstens so gut wie die der bereits
gefundenen besten Zugmöglichkeit ist. Der Knoten w und dessen Teilbaum kann daher vernachlässigt
werden. Eine entsprechende Argumentation rechtfertigt den β-Cut.
Folgende Folie zeigt ein Beispiel für das Cutting. Wir nehmen an, dass die Söhne der Wurzel
in der Reihenfolge “von links nach rechts” generiert werden. Nach der Analyse des linken
Teilbaums ist der α-Wert der Wurzel gleich 2. Wird nun der erste (linkeste) Sohn des mittleren
Teilbaums der Wurzel generiert und liefert die Payoff-Funktion die Bewertung −1, so erhält der
mittlere Sohn der Wurzel den β-Wert −1. Da dieser schlechter ist als der α-Wert der Wurzel
wird die Analyse des mittleren Teilbaums abgebrochen. Analoges gilt für den rechten Teilbaum,
für den wir annehmen, dass zuerst der mittlere (mit 1 bewertete) Sohn erzeugt wird.
Der folgende Satz zeigt die Korrektheit des α-β-Prunings, das wir durch zwei sich gegenseitig
aufrufende Algorithmen MaxValue(v,ℓ,β) und MinValue(w,ℓ,α) formuliert haben. Siehe
Algorithmus 56 auf Seite 208. Im Aufruf MaxValue(v,ℓ,β) steht der Wert β für den aktuellen
β-Wert β(w,ℓ+1) des “Vaters” von w. Entsprechende Bedeutung hat der Wert α bei Aufruf von
MinValue(w,ℓ,α).
In dem Algorithmus nicht eingebaut ist der Fall, dass eine Gewinnstrategie gefunden wurde.
Ist z.B. in MaxValue(v,ℓ,β) der aktuelle Wert für α gleich ∞, so wurde ein Gewinn bringender
Spielzug gefunden und die Betrachtung weiterer Folgekonfigurationen von v ist überflüssig.
Satz 5.3.1 (Korrektheit von Algorithmus 56). Die Bewertung c(v0,d) eines Maxknotens v0
bzgl. der Suchtiefe d wird durch den Funktionsaufruf MaxValue(v0,d,+∞) berechnet.
Beweis. Der Beweis von Satz 5.3.1 beruht auf folgenden beiden allgemeineren Aussagen:
(i) Ist v eine Endkonfiguration oder ℓ = 0, so gilt für alle α und β:
MaxValue(v,ℓ,β) = MinValue(v,ℓ,α) = Payoff(v).
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