5 Entwurfsmethoden für Algorithmen

5.2.2 Branch & Bound
Im wesentlichen beruhen die Backtracking-Algorithmen auf einem Preorder-Durchlauf des dynamisch
erzeugten (Teils des) Aufzählungsbaums. Die Generierung der Söhne eines Knotens
x = 〈x1,...,xi−1〉 erfolgt nach einem strengen Schema. Z.B. generiert (und expandiert) der für
das Rucksackproblem vorgestellte Backtracking Algorithmus stets zuerst den Knoten 〈x,0〉,
dann den Sohn 〈x,1〉, vorausgesetzt, dass Gewicht(x,1) ≤ K. Die Grundidee von Branch &
Bound Techniken besteht in der Verwendung von Heuristiken, die ein zielgerichtetes Suchen
im Aufzählungsbaums ermöglichen. 38
• Branch: expandiere zuerst “vielversprechende” Knoten
• Bound: ignoriere Teilbäume, in denen nachweislich keine (optimale) Lösung gefunden
werden kann.
Branch & Bound-Techniken werden häufig für Optimierungsprobleme verwendet, die sich nicht
optimal mit der Greedy-Methode (siehe den folgenden Abschnitt 5.4 auf Seite 211 ff) lösen lassen.
Es gibt sehr viele Varianten von Branch & Bound Algorithmen, die sich in der Art und
Weise, wie die Schranken eingesetzt werden, unterscheiden. Wir erläutern mögliche Vorgehensweisen
für Maximierungsprobleme. Wie für die Backtracking Algorithmen identifizieren
wir die Knoten im Aufzählungsbaum mit Tupeln x = 〈x1,...xi−1〉. Sei opt eine Variable, die
jeweils den Wert der besten bisher gefundenen Lösung speichert. opt(x) bezeichne den Wert
einer besten Lösung im Teilbaum mit Wurzel x. Untere und obere Schranken ub(x), lb(x) für
opt(x) können für die Beschränkungstechnik wie folgt eingesetzt werden.
• Obere Schranken (“upper bounds”): Ist die obere Schranke ub(x) höchstens so gut wie
der Wert der besten bisher gefundenen Lösung (also ub(x) ≤ opt), dann wird der Knoten
x samt seiner Nachfolger ignoriert.
• Untere Schranken (“lower bounds”): Stimmt die untere Schranke lb(x) mit der oberen
Schranke ub(x) überein, dann gilt lb(x) = opt(x) = ub(x). D.h. in diesem Fall kann
man ohne explizite Analyse des Teilbaums mit Wurzel x auf den Wert einer optimalen
Lösung im Teilbaum mit Wurzel x schließen.
Wir setzen obere und untere Schranke für die Beschränkungsstrategie ein. In solchen Fällen, in
denen “hilfreiche” untere Schranken nicht effizient berechnet werden können (bzw. keine effizienten
Verfahren bekannt sind), kann man für Maximierungsprobleme auf die unteren Schranken
verzichten. Dies entspricht der Verwendung der trivialen unteren Schranken lb(x) = −∞. Liegt
ein Minimierungsproblem vor, dann sind die Rollen der unteren und oberen Schranken zu vertauschen.
Bemerkung 5.2.8 (Wert einer optimalen Lösung versus eine/alle Lösungen). Die genannte Vorgehensweise
ist zunächst nur dann gerechtfertigt, wenn man nur an dem Wert einer optimalen
Lösung interessiert ist, nicht aber an der Lösung selbst. Will man eine optimale Lösung (und
38 Der Begriff “Branch & Bound-Algorithmus” wird in der Literatur mit unterschiedlicher Bedeutung verwendet.
Tatsächlich kann man mehrere Entwurfsstrategien durch Branch & Bound Techniken erweitern. Die hier vorgestellte
Methode ist eine Erweiterung des Backtracking und wird von manchen Autoren als “Backtracking mit
Branch & Bound” bezeichnet.
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