5 Entwurfsmethoden für Algorithmen

Diese Überlegungen führen zu dem in Algorithmus 66 angegebenen Verfahren, welches die
Kosten einer kürzesten Rundreise bestimmt. Hierzu werden die Werte Cost(W,v) zunächst für
alle einelementigen KnotenmengenW ⊆V \{s}, dann für alle zweielementigen Knotenmengen,
dann für alle dreielementigen Knotenmengen, usw. berechnet. In der letzten Iteration erhält man
die Werte Cost(V \{s},v) für alle Knoten v ∈ V \{s}, aus denen sich der gesuchte Wert mincost
mit der oben genannten Formel ergibt.
Algorithmus 66 Algorithmus für das TSP (dynamisches Programmieren)
(* s ist ein fest gewählter Startknoten, in dem die Rundreise beginnt. *)
FOR ALL Knoten v DO
Cost({v},v) := δ(s,v)
OD
FOR ALL ℓ = 2,...,|V| − 1 DO
FOR ALL ℓ-elementige Teilmengen W von V \ {s} DO
FOR ALL v ∈ W DO
Cost(W,v) := min (Cost(W \ {v},w)+δ(w,v)); (* siehe Lemma 5.5.12 *)
w∈W\{v}
OD
OD
OD
mincost := min (Cost(V \ {s},v)+δ(v,s)); (* Kosten einer kürzesten Rundreise *)
v∈V \{s}
Berechnung einer kürzesten Rundreise. Algorithmus 66 wurde so formuliert, dass nur die
Kosten einer kürzesten Rundreise ermittelt werden, nicht aber eine kürzeste Rundreise selbst.
Zur Berechnung einer kürzesten Rundreise kann wie folgt verfahren werden. Für jedes Paar
(W,v) bestehend aus einer Teilmenge W von V \ {s} und einem Knoten v ∈ W bestimmen wir
einen Knoten Last(W,v) = w, für den (w,v) die letzte Kante eines kürzesten Pfads
π(W,v) ∈ Paths(W,v)
ist. Ist also Last(W,v) = w, so gibt es eine kürzeste Reise π(W,v) ∈ Paths(W,v) von der Form
π(W,v) = s,...,w,v. Die Berechnung derartiger Knoten Last(W,v) kann wie folgt in Algorithmus
66 eingebaut werden:
• Ist W = {v} einelementig, dann ist Last({v},v) = s.
• Ist W mindestens zweielementig, dann kann man Last(W,v) = w setzen, wobei w ein
Knoten in W \ {v} ein Knoten ist, für den Cost(W,v) = Cost(W \ {v},w)+δ(w,v) gilt.
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