5 Entwurfsmethoden für Algorithmen

8( 1 2 )3 = 8 8 = 1,
also ist r = 3. Mit dem naiven Divide & Conquer ist also gegenüber der “Schulmethode” keine
asymptotische Zeitersparnis zu verzeichnen.
Matrizenmultiplikation nach Strassen. Wir betrachten nun die von Strassen vorgeschlagene
Methode. Diese benutzt ebenfalls die Zerlegung der beiden Matrizen A und B in die Untermatrizen
Ai, j und Bi, j. Die Berechnung der Untermatrizen Ci, j der Produktmatrix C beruht auf
dem folgenden Schema. 37
und
M1 := (A1,1 − A2,2) ·(B2,1 + B2,2)
M2 := (A1,2 + A2,2) ·(B1,1 + B1,2)
M3 := (A2,1 − A1,1) ·(B1,1 + B1,2)
M4 := (A1,1 + A1,2) · B2,2
M5 := A1,1 ·(B1,2 − B2,2)
M6 := A2,2 ·(B2,1 − B1,1)
M7 := (A2,1 + A1,2) · B1,1
C1,1 := M1 + M2 − M4 + M6
C1,2 := M4 + M5
C2,1 := M6 + M7
C2,2 := M2 + M3 + M5 − M7
Wir verzichten auf den Korrektheitsnachweis und konzentrieren uns stattdessen auf die Kostenanalyse.
Die Methode von Strassen benötigt 7 Multiplikationen und 18 Additionen/Subtraktionen
von ( n 2 × n 2 )-Matrizen. Dies führt zur Rekurrenz
T (n) = 7 · T
n
2 + Θ(n2 ).
Wiederum wenden wir den dritten Teil von Satz 5.1.2 an, da 7( 1 2 )2 = 7 4
erhalten wir 7( 1 2 )log7 = 7 7 = 1 und somit:
Wir fassen die Ergebnisse zusammen:
T(n) = Θ n log7
≈ Θ n 2.8
> 1. Mit r = log7
Satz 5.1.3 (Komplexität der Strassen-Methode). Mit der Methode von Strassen können zwei
n × n-Matrizen in Zeit Θ n log7 multipliziert werden.
Experimentelle Ergebnisse haben gezeigt, daß die Strassen-Methode erst für großes n (ca.
n ≥ 500) besser als die Schulmethode ist. In der Praxis empfiehlt sich daher eine gemischte
Strategie, die für n ≥ 500 eine Zerlegung à la Strassen vornimmt. Sobald die Zeilenanzahl
auf einen Wert < 500 reduziert ist, wird die Schulmethode angewandt, um die Teilprodukte zu
ermitteln.
37 Die Autorin übernimmt keine Garantie, daß jeder Index in den angegebenen Formeln stimmt.
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