5 Entwurfsmethoden für Algorithmen

x = 〈x1,...,xi−1〉 ein Knoten und opt(x) der maximale Gewinn eines Blatts 〈x1,...,xi−1,...〉 in
dem Teilbaum von x. Mit den auf Seite 185 eingeführten Bezeichnungen gilt
opt(x) = Gewinn(x)+γ(x),
wobei γ(x) für den optimalen Gewinn des {0,1}-Rucksackproblems mit den Objekten i,i +
1,...,n und der Restkapazität K ′ = K − Gewicht(x) steht. Algorithmen 47 und 48 angewandt
auf das Rucksackproblem mit n − i+1 Objekten und den Gewichten wi,...,wn, den Gewinnen
pi,..., pn und der Kapazität K ′ = K − Gewicht(x) liefern Werte γ − (x) und γ + (x), so daß
γ − (x)
Algo. 48
≤ γ(x) ≤ γ + (x) .
Algo. 47
Die unteren und oberen Schranken für den Knoten x ergeben sich wie folgt:
Offenbar gilt
ub(x) = Gewinn(x)+γ + (x), lb(x) = Gewinn(x)+γ − (x).
lb(x) ≤ opt(x) ≤ ub(x).
Wir verwenden die oben skizzierte Beschränkungsstrategie an Knoten x. Ist ub(x) ≤ optgewinn,
wobei optgewinn der Wert der bisher besten gefundenen Lösung ist, dann wird Knoten x und
dessen Teilbaum ignoriert. Ist ub(x) = lb(x), dann ist opt(x) = ub(x) und eine zugehörige optimale
Lösung des betreffenden Teilbaums wurde durch die Heuristik berechnet. Es besteht also
in diesem Fall keine Notwendigkeit, den Teilbaum von x zu analysieren, sofern man nur an einer
(statt allen) optimalen Lösung interessiert ist. Ein Beispiel ist auf folgender Folie angegeben:
Folgende Folie zeigt ein Beispiel, in dem zuerst der rechte Teilbaum der Wurzel analysiert
wird, da dessen obere Schranke 10 besser als die des linken Teilbaums ist. Die Analyse der
rechten Teilbaums findet eine Lösung mit dem Gewinn 9. Da dies die obere Schranke des linken
Teilbaums ist, kann der linke Teilbaum ignoriert werden.
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