5 Entwurfsmethoden für Algorithmen

Also ist der Gewinn der modifizierten Rucksackfüllung nicht größer als der unter der berechneten
Rucksackfüllung. Da sich jede andere Rucksackfüllung, welche die Kapazität ausschöpft,
durch mehrere derartige Modifikationen ergibt, in denen ein Fragment z = xℓ − x von Objekt ℓ
durch ein Fragment z ′ = y − x j eines anderen Objekts j mit ℓ < j ersetzt wird, ist die berechnete
Lösung optimal. Wegen der Annahme w1 +...+wn > K und da alle Gewinne positiv sind,
kommen nur Rucksackfüllungen, welche die Kapazität ausschöpfen, als optimale Lösungskandidatinnen
in Frage.
Weiter halten folgende offensichtliche Aussage fest:
Lemma 5.2.6 (Obere und untere Schranken des {0,1}-Rucksackproblems). Der Gewinn einer
optimalen Lösung des rationalen Rucksackproblems (Algorithmus 47) ist eine obere Schranke
für den Gewinn einer optimalen Lösung für das zugehörige {0,1}-Rucksackproblem. Algorithmus
48 liefert eine untere Schranke für den Gewinn einer optimalen Lösung des {0,1}-Rucksackproblems.
Im folgenden werden wir Algorithmen vorstellen, die eine optimale Rucksackfüllung für das
{0,1}-Rucksack-Problem ermitteln.
Backtracking-Algorithmus für das {0,1}-Rucksackproblem. Wir lösen das {0,1}-Rucksackproblem
mit einem Backtracking-Algorithmus, dem ein binärer Aufzählungsbaum zugrundeliegt.
In jedem inneren Knoten der Tiefe i − 1 findet die Entscheidung xi = 0 (i-tes Objekt wird
nicht mitgenommen) oder xi = 1 (i-tes Objekt wird mitgenommen) statt. Dies entspricht dem
Berechnungsbaum der nicht-deterministischen Guess & Check Methode “rate n Bits x1,...,xn
und prüfe, ob die Mitnahme der Objekte i mit xi = 1 eine zulässige Rucksackfüllung ergibt”. In
diesem Aufzählungsbaum suchen wir nun nach einer Lösung, welche den Gewinn maximiert.
Der Backtracking-Algorithmus (siehe Algorithmus 49 auf Seite 183) benutzt einen rekursiven
Algorithmus Rucksack(i,〈x1,...,xi−1〉), welcher initial mit Rucksack(1,〈·〉) aufgerufen wird
und welcher Teile des Aufzählungsbaums durchläuft. Dieser verwendet eine globale Variable
optgewinn, die initial den Wert −∞ hat und die jeweils den Gewinn der besten bisher gefundenen
Lösung angibt. Das n-Tupel optlsg stellt am Ende eine optimale Rucksackfüllung dar.
Algorithmus 49 Backtracking Algorithmus Rucksack(i,〈x1,...,xi−1〉) (Variante 1)
IF i ≤ n THEN
Rucksack(i+1,〈x1,...,xi−1,0〉)
IF Gewicht(x1,...,xi−1,1) ≤ K THEN
Rucksack(i+1,〈x1,...,xi−1,1〉)
FI
ELSE
IF optgewinn < Gewinn(x1,...,xn) THEN
optgewinn := Gewinn(x1,...,xn);
optlsg := (x1,...,xn)
FI
FI
Aus Effizienzgründen sollten der jeweils aktuelle Gewinn und das aktuelle Gewicht (also die
Zahlen Gewinn(x1,...,xi−1) und Gewicht(x1,...,xi−1)) als weitere Parameter in Rucksack(i,...)
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