5 Entwurfsmethoden für Algorithmen

Ferner gilt ub(z) ≥ ub(x), da z durch EXTRACT_MAX aus Q entnommen wird. Hieraus folgt:
value(z) (2)
= ub(z) ≥ ub(x) (1)
≥ opt(x) ≥ value(y)
Analoges gilt für Minimierungsprobleme und unteren Schranken. Hier sind die Bedingungen
(1) und (2) durch
(1’) Für alle Knoten v im Aufzählungsbaum gilt opt(v) ≥ lb(v).
(2’) Für alle Blätter z im Aufzählungsbaum gilt value(z) = lb(z).
zu ersetzen. Die Priority Queue ist als Minimusmheap hinsichtlich der unteren Schranken zu
implementieren.
Das 15er Puzzle
Wir erläutern den Einsatz der LC-Methode für das 15er-Puzzle, das wir als Minimierungsproblem
formulieren. Vgl. Beispiel 5.2.1 auf Seite 167. Gegeben ist eine Anfangskonfiguration x0
der 15 Plättchen auf einem 4×4-Spielfeld. Gesucht ist ein kürzester Weg (Folge von Spielzügen
minimaler Länge) von x0 zur sortierten Zielkonfiguration.
Um die LC-Methode anwenden zu können, benötigen wir geeignete Werte opt( ¯x) und zugehörige
(leicht zu berechnende) untere Schranken lb( ¯x) für jeden Knoten ¯x im Aufzählungsbaum.
Sei x = 〈x0,...,xn〉 ein Knoten im Aufzählungsbaum. Ist ¯x ein Blatt, d.h. stimmt xn mit der
195