5 Entwurfsmethoden für Algorithmen

Berechnung der oberen Schranken. Sei x = 〈x1,...,xi−1〉 ein Knoten im Aufzählungsbaum
für das {0,1}-Rucksackproblem mit n Objekten. Es sei opt(x) der maximale Gewinn eines
Blatts 〈x1,...,xi−1,...〉 in dem Teilbaum von x. Offenbar gilt:
wobei
opt(x) = Gewinn(x)+γ(x),
γ(x) = optimaler Gewinn des {0,1}-Rucksackproblems
mit den Objekten i,i+1,...,n und der
Restkapazität K ′ = K − Gewicht(x).
Die obere Schranke ub(x) = ub(x1,...,xi−1) für eine {0,1}-Rucksackfüllung, in der die Mitnahme
der ersten i − 1 Objekte durch x1,...,xi−1 festgelegt ist, berechnen wir mit der in Algorithmus
47 auf Seite 181 beschriebenen Methode zum Lösen des rationalen Rucksackproblems.
(Die Abkürzung ub(...) steht für “upper bound”.)
Algorithmus 47 angewandt auf das rationale Rucksackproblem mit n − i+1 Objekten und den
Gewichten wi,...,wn, den Gewinnen pi,..., pn und der Restkapazität K ′ = K − Gewicht(x)
liefert eine obere Schranke γ + (x) für γ(x). Eine obere Schranke ub(x) für die beste Lösung im
Teilbaum mit Wurzel x erhalten wir durch
Offenbar gilt opt(x) ≤ ub(x).
ub(x) = Gewinn(x)+γ + (x).
Wir verwenden diese Beobachtung, um irrelevante Teile des Aufzählungsbaums zu ignorieren:
Ist x = 〈x1,...,xi−1〉 der aktuelle Knoten und ist ub(x) ≤ optgewinn der Wert der bisher besten
gefundenen Lösung, dann wird Knoten x und dessen Teilbaum ignoriert. Diese Ideen sind in
Algorithmus 50 auf Seite 185 zusammengefasst.
Algorithmus 50 Backtracking Algorithmus Rucksack(i,〈x1,...,xi−1〉) (Variante 2)
IF i ≤ n THEN
IF ub(x1,...,xi−1) > optgewinn THEN
Rucksack(i+1,〈x1,...,xi−1,0〉)
IF Gewicht(x1,...,xi−1,1) ≤ K THEN
Rucksack(i+1,〈x1,...,xi−1,1〉)
FI
FI
ELSE
IF optgewinn < Gewinn(x1,...,xn) THEN
optgewinn := Gewinn(x1,...,xn)
FI
FI
Ein Beispiel ist auf folgender Folie angegeben. Hier liefert die Analyse des linken Teilbaums
der Wurzel eine Lösung mit dem Gesamtgewinn 5. Also wird optgewinn = 5 gesetzt. Die obere
Schranke opt(1) für den Knoten ¯x = 〈1〉 ist ub(1) = p1 + γ + (1) = 1+3 = 4 < 5, also wird auf
die Analyse des rechten Teilbaums verzichtet.
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