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2.6 Registrierungskomponenten 15
2.6 Registrierungskomponenten
2.6.1 Transformation
Im Registrierungsprozess wird eine Transformation berechnet, die die Punkte eines Bildes
auf korrespondierende Punkte des anderen Bildes abbildet. Die räumliche Abbildung beschreibt
den Zusammenhang zwischen Positionen in dem einen Bild mit korrespondierenden
Punkten im zweiten Bild [Han01].
¡ ¨
Zwei und Bilder haben in der Regel Domänen und unterschiedliche (siehe Kap.
2.1). Sind beide Bilder Abbildungen des gleichen Objektes X, gibt es eine Beziehung zwischen
ihnen. Das heißt, es Punkte existieren in zu denen korrespondierende in
Punkte
gefunden werden können. Der Registrierungsprozess sucht die Transformation,
alle die auf Punkte korrespondierende abbildet. Korrespondierende
Punkte gibt es nur im überlappenden von und Bereich . Dieser wird definiert als
¡ ¨
Allgemein dass gilt, kleiner als oder ist .
Jede Transformation, die auf ein Bild angewandt wird, kann die überlappende Domäne verändern.
Algorithmen, die sensitiv auf von Änderungen reagieren, sind im Registrierungsprozess
nicht robust. Welcher Transformationstyp für den Registrierungsprozess genutzt
wird, ist abhängig von der Dimension der zu registrierenden Bilder und von der Aufgabenstellung.
Beschreiben die zu registrierenden Bilder das gleiche Objekt lediglich in einer anderen Position,
kann die Transformation, die die Bilder in Übereinstimmung bringt, durch eine Rotation
und eine Translation beschrieben werden. Eine solche Transformation wird als rigide Transformation
bezeichnet.
Die Klasse der affinen Abbildungen beschreibt rigide Transformationen. Eine affine Abbildung
ist eine Abbildung zwischen affinen Räumen. Sie zeichnet sich dadurch aus, dass sie
Kolinearität und Verhältnisse im Bild erhält. Das heißt, Bilder von Punkten, die auf einer Geraden
liegen, also kolinear sind, liegen wieder auf einer Geraden. Bilder paralleler Geraden
sind wieder parallel. Eine affine Abbildung wird beschrieben durch die Gleichung
¡ ¨ ¡ ¨
ist ¡ ¨ Dabei eine lineare und Abbildung ein fester Vektor.
Affine Abbildungen umfassen Rotationen, Translationen, Skalierungen und Scherungen. Eine
rigide Transformation zeichnet sich aber dadurch aus, dass keine Skalierungen und Scherungen
erlaubt sind. Deshalb müssen die affinen Abbildungen entsprechend eingeschränkt
werden. Sie lassen sich dann beschreiben durch
¡ ¨ ¡ ¨
¡ ¨
(2.2)